1、將樣條基函數(shù)用以工業(yè)曲線曲面的設計過程中，關注兩方面的問題。一方面要考慮樣條基函數(shù)的構造，為不同類型的造型曲線設計出滿足需求的樣條基函數(shù)。在此基礎上，如果能為不同的樣條基給予統(tǒng)一的表示形式，則更方便統(tǒng)一的幾何造型系統(tǒng)的實現(xiàn)。另一方面要從理論層面上考慮基函數(shù)的性質，從而進一步考慮哪些性質將對哪些造型需求產生直接的影響，以在造型的需求中加以控制，實現(xiàn)靈活造型的目的。本文圍繞著兩個主題進行討論，主要介紹如下四方面成果:
　　(1)證明了

2、綜合性樣條基的全正性，給定了綜合性樣條配置矩陣的二對角分解形式。進一步，討論了全正性與曲線造型保形性之間的關系，證明綜合性樣條基是一組具有最優(yōu)保形特性的B基。
　　樣條基的全正性與曲線造型的保形性關系密切，從代數(shù)學的角度來證明樣條基的全正性，理論較為復雜且缺少直觀意義。早有研究指出，全正矩陣一定可以分解為一組二對角矩陣的乘積形式，然而對于非方形全正矩陣并沒有給出明確的分解形式。本文利用嵌入節(jié)點算法，推導出綜合性樣條基函數(shù)的配置矩陣

3、可以分解為一系列二對角矩陣的乘積，從而證明其具有全正性，證明方法是直觀的、幾何的和初等的。進一步，討論了它的保形性，證明了綜合性樣條基是一組具有最優(yōu)保形性的B基。
　　(2)對綜合性樣條函數(shù)的零點分布和零點特征進行了分析，討論了交差數(shù)與零點數(shù)之間的關系，并給出一元綜合性樣條函數(shù)的零點的界限。
　　關于多項式函數(shù)的零點分析是一項重要的基礎的理論工作，并取得了多項成果。對應地，關于包括多項式樣條函數(shù)在內的綜合性樣條基的零點分析問

4、題具有同樣的研究價值。我們利用綜合性樣條基的嵌入節(jié)點算法為工具，討論了零點數(shù)與變差數(shù)之間的關系，分析出無交差零點的分割作用，最后推導出在綜合性樣條空間上類似于Descartes定理的結論。
　　(3)證明了綜合性樣條基的基本嚴格全正性，并由其等價推導出綜合性樣條基的插值適定性條件，為綜合性樣條的插值應用提供理論依據。
　　基本嚴格全正性是介于全正性與嚴格全正性之間的一個概念，它比全正性的概念更為完備。我們將它從代數(shù)學的概念中

5、遷移到對基函數(shù)配置矩陣的描述中，嚴格定義一組基函數(shù)的基本嚴格全正性，該性質對于配置矩陣的特點描述是直觀的?；趯C合性樣條函數(shù)進行零點分析得到的結果，利用嵌入節(jié)點算法作為工具，直觀地證明了綜合性樣條基函數(shù)具有基本嚴格全正性，其證明過程是本原的，且可以等價推導出綜合性樣條插值的適定性條件，為空間散亂點插值的應用提供了理論依據。
　　(4)構造出了新的綜合范圍更廣的綜合性樣條基，通過構造含可調參數(shù)的頻率函數(shù)，得到包括代數(shù)指數(shù)混合空間在