1、第五章 反饋神經網(wǎng)絡,,5 反饋神經網(wǎng)絡,,Hopfield網(wǎng)絡分為離散型和連續(xù)型兩種網(wǎng)絡模型，分別記作DHNN (Discrete Hopfield Neural Network) 和CHNN (Continues Hopfield Neural Network)，本章重點討論前一種類型。,根據(jù)神經網(wǎng)絡運行過程中的信息流向，可分為前饋式和反饋式兩種基本類型。前饋網(wǎng)絡的輸出僅由當前輸入和權矩陣決定，而與網(wǎng)絡先前的輸出狀態(tài)無關。,美國

2、加州理工學院物理學家J.J.Hopfield教授于1982年提出一種單層反饋神經網(wǎng)絡，后來人們將這種反饋網(wǎng)絡稱作Hopfield 網(wǎng)。,5.1.1 網(wǎng)絡的結構與工作方式,離散型反饋網(wǎng)絡的拓撲結構,,5.1離散型Hopfield神經網(wǎng)絡,(1)網(wǎng)絡的狀態(tài) DHNN網(wǎng)中的每個神經元都有相同的功能，其輸出稱為狀態(tài)，用 xj 表示。,j=1,2,…,n,,所有神經元狀態(tài)的集合就構成反饋網(wǎng)絡的狀態(tài)X=[x1,x2,…,xn]T

3、,反饋網(wǎng)絡的輸入就是網(wǎng)絡的狀態(tài)初始值，表示為X(0)=[x1(0),x2(0),…,xn(0)]T,反饋網(wǎng)絡在外界輸入激發(fā)下，從初始狀態(tài)進入動態(tài)演變過程，變化規(guī)律為,,j=1,2,…,n (5.1),DHNN網(wǎng)的轉移函數(shù)常采用符號函數(shù),式中凈輸入為,,j=1,2,…,n (5.2),對于DHNN網(wǎng)，一般有wii=0 ，wij=wji。,反饋網(wǎng)絡穩(wěn)定時每個神經元的狀態(tài)都不再改變，此時的穩(wěn)定狀態(tài)就是網(wǎng)絡的輸出，表示為,,

4、,(2)網(wǎng)絡的異步工作方式,,(5.3),(3)網(wǎng)絡的同步工作方式 網(wǎng)絡的同步工作方式是一種并行方式，所有神經元同時調整狀態(tài)，即,,j=1,2,…,n (5.4),,網(wǎng)絡運行時每次只有一個神經元進行狀態(tài)的調整計算，其它神經元的狀態(tài)均保持不變，即,,5.1.2.1 網(wǎng)絡的穩(wěn)定性,DHNN網(wǎng)實質上是一個離散的非線性動力學系統(tǒng)。網(wǎng)絡從初態(tài)X(0)開始，若能經有限次遞歸后，其狀態(tài)不再發(fā)生變化，即X(t+1)＝X(t)，則

5、稱該網(wǎng)絡是穩(wěn)定的。,如果網(wǎng)絡是穩(wěn)定的，它可以從任一初態(tài)收斂到一個穩(wěn)態(tài)：,5.1.2 網(wǎng)絡的穩(wěn)定性與吸引子,若網(wǎng)絡是不穩(wěn)定的，由于DHNN網(wǎng)每個節(jié)點的狀態(tài)只有1和-1兩種情況，網(wǎng)絡不可能出現(xiàn)無限發(fā)散的情況，而只可能出現(xiàn)限幅的自持振蕩，這種網(wǎng)絡稱為有限環(huán)網(wǎng)絡。,如果網(wǎng)絡狀態(tài)的軌跡在某個確定的范圍內變遷，但既不重復也不停止，狀態(tài)變化為無窮多個，軌跡也不發(fā)散到無窮遠，這種現(xiàn)象稱為渾沌。,,,網(wǎng)絡達到穩(wěn)定時的狀態(tài)X，稱為網(wǎng)絡的 吸引子。,如果把吸

6、引子視為問題的解，從初態(tài)朝吸引子演變的過程便是求解計算的過程。,若把需記憶的樣本信息存儲于網(wǎng)絡不同的吸引子，當輸入含有部分記憶信息的樣本時，網(wǎng)絡的演變過程便是從部分信息尋找全部信息，即聯(lián)想回憶的過程。,定義5.1 若網(wǎng)絡的狀態(tài)X 滿足X=f(WX-T) 則稱X為網(wǎng)絡的吸引子。,5.1.2.2 吸引子與能量函數(shù),,定理5.1 對于DHNN 網(wǎng)，若按異步方式調整網(wǎng)絡狀態(tài)，且連接權矩陣W 為對稱陣

7、，則對于任意初態(tài)，網(wǎng)絡都最終收斂到一個吸引子。,定理5.1證明：,定義網(wǎng)絡的能量函數(shù)為：,,(5.5),令網(wǎng)絡的能量改變量為ΔE，狀態(tài)改變量為ΔX，有,,(5.6),,(5.7),5.1.2.2 吸引子與能量函數(shù),將式(5.4)、(5.6)代入(5.5)，則網(wǎng)絡能量可進一步展開為,,,(5.8),將 代入上式 ，并考慮到W為對稱矩陣，有,,(5

8、.9),上式中可能出現(xiàn)的情況：,,情況a ：xj(t)=-1, xj(t+1)=1, 由式(5.7)得Δxj(t)=2, 由式(5.1)知，netj(t)≧0，代入式(5.9)，得ΔE(t)≦0。,情況b ：xj(t)=1, xj(t+1)=-1, 所以Δxj(t)=-2, 由式(5.1)知，netj(t)<0，代入式(5.9)，得ΔE(t)<0。,情況c ：xj(t)=xj(t+1), 所以Δxj(t)=0, 代入式(5.

9、9)，從而有ΔE(t)=0。,由此可知在任何情況下均有ΔE(t)≦0 。,由于網(wǎng)絡中各節(jié)點的狀態(tài)只能取1 或 –1 ，能量函數(shù)E(t) 作為網(wǎng)絡狀態(tài)的函數(shù)是有下界的，因此網(wǎng)絡能量函數(shù)最終將收斂于一個常數(shù)，此時ΔE(t)=0 。綜上所述，當網(wǎng)絡工作方式和權矩陣均滿足定理5.1的條件時，網(wǎng)絡最終將收斂到一個吸引子。,綜上所述，當網(wǎng)絡工作方式和權矩陣均滿足定理5.1的條件時，網(wǎng)絡最終將收斂到一個吸引子。,定理5.2 對于DHNN網(wǎng)，若按同

10、步方式調整狀態(tài)，且連接權矩陣W為非負定對稱陣，則對于任意初態(tài)，網(wǎng)絡都最終收斂到一個吸引子。,,證明：由式(5.8)得,前已證明，對于任何神經元 j ，有,因此上式第一項不大于0，只要W為非負定陣，第二項也不大于0，于是有⊿E(t)≦0 ，也就是說E(t)最終將收斂到一個常數(shù)值，對應的穩(wěn)定狀態(tài)是網(wǎng)絡的一個吸引子。,,,以上分析表明，在網(wǎng)絡從初態(tài)向穩(wěn)態(tài)演變的過程中，網(wǎng)絡的能量始終向減小的方向演變，當能量最終穩(wěn)定于一個常數(shù)時，該常數(shù)對應于網(wǎng)絡

11、能量的極小狀態(tài)，稱該極小狀態(tài)為網(wǎng)絡的能量井，能量井對應于網(wǎng)絡的吸引子。,5.1.2.2 吸引子與能量函數(shù),性質1 ：若X 是網(wǎng)絡的一個吸引子，且閾值T=0，在sgn(0)處，xj(t+1)=xj(t)，則 －X 也一定是該網(wǎng)絡的吸引子。,證明：∵X 是吸引子，即X= f (WX)，從而有 f [W(－X)]=f [－WX]=－f [WX]= －X　 ∴－X 也是該網(wǎng)絡的吸引子。,,5.1.2.3 吸引子

12、的性質,性質2：若Xa是網(wǎng)絡的一個吸引子，則與Xa的海明距離dH(Xa，Xb)=1的Xb一定不是吸引子。,證明：不妨設x1a≠x1b，xja≠xjb，j=2,3,…,n。 ∵ w11=0，由吸引子定義，有,,由假設條件知，x1a≠x1b，故,,∴-X 也是該網(wǎng)絡的吸引子。,,能使網(wǎng)絡穩(wěn)定在同一吸引子的所有初態(tài)的集合，稱為該吸引子的吸引域。,定義5.2 若Xa是吸引子，對于異步方式，若存在一個調整次序，使網(wǎng)絡可

13、以從狀態(tài)X 演變到Xa ，則稱 X 弱吸引到Xa；若對于任意調整次序，網(wǎng)絡都可以從狀態(tài)X 演變到Xa，則稱X強吸引到Xa。,定義5.3 若對某些X，有X弱吸引到吸引子Xa，則稱這些X的集合為Xa的弱吸引域；若對某些X，有X強吸引到吸引子Xa，則稱這些X的集合為Xa的強吸引域。,,5.1.2.4 吸引子的吸引域,例5.1 設有3節(jié)點DHNN網(wǎng)，用無向圖表示如下，權值與閾值均已標在圖中，試計算網(wǎng)絡演變過程的狀態(tài)。,x1

14、-0.1 -0.5 0.2 x2 0.0 0.0 x3 0.6,,,解：設各節(jié)點狀態(tài)取值為1 或0 ，3 節(jié)點DHNN 網(wǎng)絡應有23=8種狀態(tài)。不妨將X=(x1,x2,x3 )T

15、=(0,0,0)T 作為網(wǎng)絡初態(tài)，按1→2→3的次序更新狀態(tài)。,第1步：更新x1 ，x1=sgn[(-0.5)?0+0.2?0－(-0.1)] =sgn(0.1)=1其它節(jié)點狀態(tài)不變，網(wǎng)絡狀態(tài)由(0,0,0)T變成(1,0,0)T。如果先更新 x2 或 x3，網(wǎng)絡狀態(tài)將仍為(0,0,0)T，因此初態(tài)保持不變的概率為2/3，而變?yōu)?1,0,0)T的概率為1/3。,x1 -0.1 -0.5

16、 0.2 x2 0.0 0.0 x3 0.6,第2步：此時網(wǎng)絡狀態(tài)為(1,0,0)T，更新x2后，得 x2=sgn[(-0.5)?1+0.6?0－0]=sgn(-0.5)=0其它

17、節(jié)點狀態(tài)不變，網(wǎng)絡狀態(tài)仍為(1,0,0)T。如果本步先更新 x1 或 x3，網(wǎng)絡相應狀態(tài)將為(1,0,0)T和(1,0,1)T，因此本狀態(tài)保持不變的概率為2/3，而變?yōu)?1,0,0)T 的概率為1/3。,第3步：此時網(wǎng)絡狀態(tài)為(1,0,0)T，更新x3得 x3=sgn[0.2?1+0.6?0－0]=sgn(0.2)=1,同理可算出其它狀態(tài)之間的演變歷程和狀態(tài)轉移概率。,,,DHNN網(wǎng)絡狀態(tài)演變示意圖,,為了

18、使所設計的權值滿足要求，權值矩陣應符合以下要求：,⑴為保證異步方式工作時網(wǎng)絡收斂，W應為對稱陣；⑵為保證同步方式工作時網(wǎng)絡收斂，W應為非負定對稱陣；⑶保證給定樣本是網(wǎng)絡的吸引子，并且要有一定的吸引域。,5.1.3.2外積和法,設給定P個模式樣本Xp，p=1,2,…,P，x?{-1,1}n，并設樣本兩兩正交，且n>P，則權值矩陣為記憶樣本的外積和,,,(5.16),,5.1.3 網(wǎng)絡的權值設計,若取wjj=0，上式應寫為,,(5