1、,社會歷史背景條件 相對封閉的疆域 大河背景下的農耕文化 集中的王權 中國數學的特點 形成了以計算為核心的算法理論 具有濃郁應用色彩 中國數學的成就 第一部數學著作《九章算術》（大約公元前二百年左右） 公元3世紀至13世紀，創(chuàng)造了許多領先于其它民族的眾多數學成果,形成國家數學教育的體制,2.1《周易》與中國傳統(tǒng)數學,《周易》是我國古代專講卜筮的書，約成書于殷商時期 ,在古代中國眾多的儒、道典籍

2、中，《周易》是包含數學內容最豐富的著作。 “卜”是使用一定的工具弄出來、以決定事情吉兇的兆象。中國人常用龜甲和獸骨為占卜工具?！绑摺笔前匆欢ㄒ?guī)則得到特定的數字，并用它來預測事情的吉兇 , “筮”字由“竹”字和“巫”字構成。后來改用蓍草,“天子之蓍九尺，諸侯七尺，大夫五尺，士三尺?！?《周易》由《易經》和《易傳》兩部分組成。自漢代開始，許多算學家都熱衷于將算法與《周易》相聯(lián)系。劉徽在《九章算術注》的序中就寫道：“

3、昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情。作九九之術，以合六爻之變。”,《易經》中利用爻卦的變化預測吉兇，分別用“—”與“－－”表示陽爻和陰爻 。構成八卦、六十四別卦 研究認為，《周易》中爻的符號“—”、“－－”是由數字或數表演進而來的。理由是： 其一，卦辭中，當對卦畫進行解釋時，總是用數“九”和“六”分別表示陽爻和陰爻。 其二，考古發(fā)現商代甲骨文或陶器上有不少由六組數（每組三個數字）組

4、成的數表 ，所用的數字逐漸增加一、六的使用頻率，別的數字似乎有不用的趨勢。大約在周初（約公元前1066），就只有一和六這兩個數字了。 學者認為：用數字表示占卜的結果，數“一”表示奇數，讀數九的音；數“六”仍讀六，表示偶數。由于古代六字的符號是“∧”，這樣數“一”與“∧”就具有爻的形象了。以后“∧”字形逐漸變平，最后一分為二，成為陰爻“－－”的表示形式。,2.1.1 從數(表)演進為爻,,,四盤磨卜骨上的字符,太極八卦圖,2.

5、1.2 《周易》揲法——大衍演算,《周易》中占筮確定取爻的方法稱為“揲法”，所謂“一十八變得一卦”。朱熹（1130~1200）對揲法的解說如下： （1）蓍策總數是50根，去其一（象征太一，即太極），實際用于占算的是49根；（2）把它們任意分成兩部分（象征天地“兩儀”），從第一部分里取出一根不參與計算，（叫“掛一”，配上“兩儀”，象征天地人“三才”）；（3）對于第一部分的蓍策，每4根一組數出，叫“揲四”，（象征春夏秋冬四時）；（4

6、）將所余的“奇數”（為1，2，3，4四數之一）根蓍策，夾在左手指間，（叫“歸奇于扐”，象征閏年）；（5）將第二部分蓍策也照（3）、（4）辦理。于是兩部分“歸奇”的蓍數非4即8，加上“掛一”的一根，共5或9根，完成了“第一變”。,將“歸奇”的蓍數（5或9根）不用，用余下44或40蓍參與第二變的計算，操作方法仿上述（2）~（5），此時“歸奇”的蓍數仍然是非4即8。第三變揲法仿第二變，用蓍32或36，或40根，三變后余下蓍策的根數或36，或

7、32，或28，或24根，均為4的倍數。最后，將第三變的余蓍除以4則得九、八、七、六。并稱九為老陽，六為老陰，七為少陽，八為少陰。揲蓍的目的，就是為了取到這四個數中的一個。讓陽數對應陰卦，陰數對應陰卦，于是數字變成了爻象。,從中國古代的占筮工具和方法中，不難發(fā)現中國傳統(tǒng)數學的歷史淵源,“數學”一詞相當于我國古代的“算術” 數學一詞，在中國最早出現在12世紀宋代數學家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有數，乘除推闡，務究造化之

8、源者，是數學”。,算籌 中國古人稱數學為算學,2.1.3 組合數學的思想——洛書與河圖,,宋代的九宮格,,明代的洛書,,河圖的解釋，在歷史上有多種說法。其中《尚書》中解釋說：“河圖，八卦；伏羲王天下，龍馬出河，遂則其文以畫八卦，謂之河圖?！?圖中每個陽、陰爻分別代表數9與數6，其中數字的配置依照“九六”說，是一種均衡的數字配置。在八卦中，相對稱的卦象，如乾與坤，其象數之和均為45。它與洛書中1至9的數字之和相同,“易有太極，

9、是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”,,明代邵雍的易圖數學結構,儒家以“九數”為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以《周易》象數學宇宙論為哲學依托；墨家則以幾何學為核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨經》的邏輯學為其論說的工具。 孔子（前551~前479）的“六藝”中的“周官九數”（方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要 ）是《九章算術》的雛形 墨子（前468~前376）的抽象概念和邏輯知識： 三個邏輯方法

10、:“以名舉實，以辭抒意，以說出故。以類取，以類予”，具有比較明確的邏輯思維形式，非常類似演繹數學中的定義、定理和證明。對幾何中的幾何形狀、幾何性質、空間關系提出了明確的定義。論述了推理（說）的各種形式。 惠施（約前370~前318）對無窮性質的認識 ：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭” ；“鏇矢之疾有不行不止之時”。,2.2 先秦顯學中的數學思想,公元1世紀至8世紀初，改變了先前只追求算法、不研究算理的學風，開始給出概念的定義，進行推

11、理論證，取得了許多世界領先的成果，同時涌現出一批杰出數學家,2.3.1 劉徽與《九章算術注》　　西漢年間，中國有了專門的數學著作：《許商算術》、《杜忠算術》、《算數書》和《九章算術》，其中前兩部著作早已失傳。,《算數書》，1984年從湖北張家山古墓中發(fā)掘出土的。據考證，算數書》是公元前206年－前179年的一部數學著作，它以實際應用問題的形式編纂 。,2.3 中國傳統(tǒng)數學理論的研究,《九章算術》 是中國古代的一本傳世數學名著，一直作為

12、中國傳統(tǒng)數學的代表作，現在傳世的是三國時代劉徽于263年完成的注釋本。劉徽布衣出身，生平不詳。從他的《九章算術注》自序中可以知道：他早年系統(tǒng)地學習過《九章算術》，并以“注”的形式將其研究成果記載下來，完成了《九章算術注》。 　《九章算術》成書的確切起始年代無法確定，只知在漢代就曾經過北漢平侯張蒼（約前200年）和大司農中丞耿壽昌（約前50年）的整理。,,第一章方田（分數四則運算和平面圖形求面積）　　第二章粟米（糧食交易的計算方法）

13、　　第三章衰分（比例分配）　　第四章少廣（開平方與開立方）　　第五章商功（體積計算）　　第六章均輸（運輸中的均勻負擔）　　第七章盈不足（盈虧類問題計算）　　第八章方程（一次方程組解法與正負數）　　第九章勾股（勾股定理的應用）　全書的編排方法是：先舉出問題，再給出答案，通過對一類問題解法的考察，最后給出“術”。全書共有202個“術”。術，是一類問題的一般算法描述，它是研究中國傳統(tǒng)數學成果的主要依據,《九章算術》是以應用問題

14、集的形式表述，一共收入246個問題?！毒耪滤阈g》把246個問題分為九章：,,明代刊印的《九章算術注》,《九章算術》標志著中國傳統(tǒng)數學的知識體系已初步形成?！〈砹酥袊鴤鹘y(tǒng)數學體系和思想方法的特點：注重實際問題的數值計算方法，缺少抽象的理論和邏輯系統(tǒng)性，使用算籌，形成世界上獨有的計算工具和程序化計算方法,《九章算術》的內容是由周代的“九數”發(fā)展而來的。劉徽稱：“周公制禮而有九數，九數之流則《九章》是矣”。,《九章算術注》對數學方法的貢獻

15、　　開始了其獨特的推理論證的嘗試。 “析理以辭，解體用圖?！?創(chuàng)立了“出入相補”的方法，提出了“割圓術”，上首次將極限概念用于近似計算；引入十進制小數的記法和負整數的知識；他試圖建立球體積公式，雖然沒有成功，但為后人提供了科學的方法；他對勾股測量問題的深入研究，在幾何研究中，從少數幾個原理出發(fā)，運用邏輯手段推導出結果的方法 。提出“審辨名分”，不但對自己提出的每一個新概念都給出界定《九章算術注》豐富了《九章算術》的數學成果，主要表現在算

16、術、代數和幾何諸方面。 諸如，割圓術與徽率“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！?,設圓面積為S0、半徑為 r、圓內接正n邊形邊長為 ln 、周長為 Ln、面積為 Sn 。將邊數加倍后,得到圓內接正2n邊形，其邊長、周長、面積分別記為 l2n , L2n , S 2n 。劉徽首先指出，由 ln 及勾股定理可求出 l2n,其次知道了圓內接正n 邊形的周長 Ln，又可求得正2n邊形的面積，如果在圓內接n邊

17、形的每邊上作一高為CD的矩形，就可以證明劉徽不等式：S2n < S0 < S2n + ( S2n－Sn ).,割圓術的基本原理,從圓內接正六邊形出發(fā)，取半徑r為1尺，一直計算到192邊形，得出圓周率的近似值π≈3.14，化成分數為157/50，這就是有名的“徽率”,2.3.2 祖率與祖暅原理,祖沖之（429~500） 與祖率 據《隨書·律歷志》記載，祖沖之求得的π值的取值范圍為3.141592

18、< π<3.1415927 .（并稱為朒、盈數） 如果利用劉徽的割圓術得到上述結果，需要從正六邊形起，連續(xù)的倍增正多邊形的邊數，至24576邊形,,,用水平截面去截球和“牟合方蓋”，可知截面的面積之比恒為π：4，于是由劉徽原理立即得到V球:V牟=π：4即 V球= （π/4） V牟。,祖暅原理（冪勢既同，則積不容異）與球體積公式劉徽原理與“牟合方蓋”,“小方蓋差

19、” 與球體積公式,,左圖，小牟合方蓋中，PQ是小牟合方蓋被水平截平面得到正方形的一邊，設為a，UQ是球半徑r，UP是高h。根據勾股定理得a2 = r2 – h2;這正是截平面PQRS的面積 中圖，小方蓋差在等高處的截面面積等于r2 －a2 =h2， 右圖，底邊為r，高也是r的倒正四棱錐，在等高處的截面面積也是h2,根據祖暅原理可知：小方蓋差和倒立正四棱錐的體積相等。,內插法：已知 f ( x ) 在 xi ∈[a,b]（i

20、=1,2,…,n）的值為 ，那么通過 及適當公式，計算y = f ( x ) 在 [a,b]內其他一些點的函數值。如果xi + 1 －xi為定數，這時的內插法稱為等間距內插法；反之，稱為不等間距內插法。,,歷法編制中的內插法 最早求影長的一次內插公式（約公元前2世紀 ）： f (n)=f (a) + n△，其中， f (n)是夏至之后的第ｎ個節(jié)氣的影長，,f (a)

21、 = 160分，f (b) = 1350分分別是夏至、冬至的中午八尺桿子的影長，,2.3.3 內插法與天文歷法,《乾象歷》（206年），已發(fā)現了月亮不均勻運動及其規(guī)律。公元570年，北齊朝的天文學家張子信發(fā)現：自春分到秋分所需的時間要比秋分到春分的時間長，進而證明了太陽“視運動”的速度是不均勻的隋朝劉焯（544~610）的《皇極歷》提出了等間距二次內插法公式：f (nl + s) = f ( nl ) +

22、 + (△1－△2)－ (△1－△2)張遂(683~727) 的《大衍歷》創(chuàng)造了不等間距二次內插法公式： f (t + s) = f ( t ) + s +s － 其中，l1、l2分別為不同節(jié)氣的時間長度，張遂假定它們不相等,,,,,,,,,“算經十書”記載的中國傳統(tǒng)數學成就《周髀算經》（約公元前240年至公元前156年）與

23、商高（陳子）定理 “周髀”是測量日影的工具—八尺長竿 全書由三部分組成： 第一部分共264個字，記述了周公與大夫商高的問答記錄。提到：“勾廣三，股修四，徑隅五”。說明，周代初期人們已經知道勾股定理的特例：勾三、股四、弦五。 第二部分是榮方與陳子的對話。對話中包含了勾股定理的一般陳述形式：“……以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！?第三部分是講計算問題的，有“術”13條，書寫形式和

24、內容與《九章算術》基本一致。,2.3.4 明算學與“算經十書” 隋唐時期的數學教育制度 —明算學,“孫子問題”：“今物不知其數，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，問物幾何？” 孫子問題相當于求解一次同余式組 N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）這個問題源于歷法編算中的求上元積年問題 其解法寫作“孫子歌”：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。.

25、 計算過程為：N=70×2+21×3+15×2－2×105.顯然，這里的70、21、15是求解的關鍵。其求法： 70 =2×5×7≡1(mod 3)≡0(mod 5)≡0(mod 7), 21 = 3×7≡0(mod 3)≡1(mod 5)≡0(mod 7) , 15=3×5≡0(mod 3)≡0

26、(mod 5)≡1(mod 7) . 由題設，用3、5、7分別除以N所得的余數為2、3、2，故用2、3、2分別去乘70、21和15，再相加即得 233≡2（mod 3）≡3（mod 5）≡2（mod 7） 求出這個同余組的最小整數解N=23，,《孫子算經》（約公元4世紀）與“孫子問題”,《張邱建算經》（約公元五世紀）與“百雞問題” “今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢，買雞百只。問

27、雞翁、母、雛各幾何?！?給出三組答案： （4，18，78），（8，11，81），（12，4，84） 《張邱建算經》的應用領域較《九章算術》有了新的發(fā)展，其主要數學成果包括求最小公倍數，等差數列及不定方程等內容,《緝古算經》（公元600多年）與“帶從開方法” 對當時的土木工程中出現的數學問題的研究和總結，在一些體積計算中隱含了求解三次方程的“帶從開方法” 。雖然由于解法過程空缺，因而沒能

28、清楚地呈現這一方法的具體操作過程和原理。該書在理論上的貢獻是陳述了籌算的運算方法，這在中國數學史上尚屬首次。,2.4.1 楊輝三角與增乘開方法 楊輝（約13世紀后期）在《詳解九章算法》中記載了北宋人賈憲的一張“開方作法本源圖”（1050）現今稱為楊輝三角的 “賈憲三角”。在西方它被又稱為帕斯卡三角（1655年）,,2.4 中國傳統(tǒng)數學發(fā)展的頂峰（900年到1368年 ） 創(chuàng)造出許多具有世界 歷史意義的成就

29、 數學家輩出 數學著作涌現,若A開平方的首商、次商分別為a,b,則有A=a2+B=a2+2ab+b2 則B=A－a2=2ab+b2=(2a+b)b 繼而用2a+b試除B,且若B－(2ab+b2)=0,則開方完成；否 則再繼續(xù)試第三位商，……。 這個方法用于籌算，就形成了增乘開方法，其過程簡述如下:,借助賈憲三角，給出一種開高次方的方法：增乘開方法,,a *

30、 a a a b* b b,① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦,,將上圖轉換適當角度，就變?yōu)橘Z憲三角：左邊斜行由1組成，稱為“積數”，它們是借算；右斜行也都是1，稱為偶算，它們是a的各次冪的系數。賈憲利用賈憲三角得到了開高次方的一般方法,增乘開方法，是一個和高度機械化的和非

31、常有效的算法，與現代通用的“霍納算法”（1819）已基本一致。增乘開方法，可適用于開任意高次方。但賈憲本人沒有認識到這一點。另外直到賈憲時，中國數學家們所處理的方程系數都是正數。12世紀北宋學者劉益首先突破了系數必須為正的限制，并且也不再像以往那樣要求首項系數為1。,“大衍求一術” 為求得滿足條件的乘率ki，秦九韶把奇數gi與定數ai輾轉相除，相繼得商數qi和余數ri，即 a i = q1 gi + r1,

32、 并可得到：c1 = q1 g i = q2r1 + r2, c2 = q2c1+1 r1 = q3r2 + r3, c3 = q3c2+c1 …… ……

33、 rn-2 = qnrn-1 + rn 秦九韶指出：當rn=1且n為偶數時，則最后所得cn 就是乘率ki；當rn=1，且n為奇數時，可將rn-1與rn相除后，形式上取qn+1=rn-1－1，那么余數rn+1仍為1，再做cn+1=qn+1cn+cn-1，這時n+1為偶數，則cn+1就是所求ki，總之，當輾轉相除得到余數1時，整個計算結束,2.4.2 秦九韶與中國剩余定理秦九韶（1202~1261）與《數書九章

34、》 高次方程數值解法—“正負開方術”（開10次方的問題） 一次同余組解法—“大衍總數術”（“衍”同“演” ）,元代初期，開始用文字表示方程中的未知量，并形成了相應的算法——天元術（李冶 ）與四元術（朱世杰 ）高階等差級數和公式沈括（約1031~1095）“隙積術”與二階等差數列求和公式 數列：22，32，42，52，62，（1）該數列相鄰項之差依次為 5，7，9，11 ，…… （2）顯然（2）是一

35、個公差為2的等差數列。今天（1）式被稱為一個二階等差數列,,楊輝的“垛積術”與“三角垛公式”：1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋…（1＋2＋3＋…＋n） = n（n＋1）（n＋2）/6,2.4.3 方程與級數的研究,,廉數是斜行上數的和上一斜行各數之和，等于下行短線所指的一個數,左邊第二斜行為1，2，3，4，5，6，7，8 ，是公差為1一階等差數列，它的前n項和（“茭草垛”公式）左邊第三斜行為1，3，6，10，15，21，

36、28，是二階等差數列，它的前n項和為（“三角垛”公式） 左邊第四斜行為1，4，10，20，34，56，是三階等差數列，它的前n項和為（“撤星形垛”公式）,朱世杰得到了p階等差數列求和的一般公式， =,,,朱世杰的一般高階等差級數公式及其應用 賈憲三角與等差級數公式,“設日數為n，每日招兵數為(n + 2)3,問第15日招兵多少？” 解答中

37、用到了四次內插公式：f (n) = n△1+ n (n－1)△2+ n (n－1)(n－2)△3 + n (n－1)(n－2)(n－3)△4 其中f (n)表示第n日總共的招兵數，且其“四次差”分別為△1=27， △2=37， △3=24， △4=6。恰好是“古法七乘方圖”中的各級數之和。 朱世杰的發(fā)現表明，借助于高階等差級數的研究結果，完全可以寫出任意高次的招差公式。在歐洲，

38、1670年英國天文學家格烈高里最先對招差法作了說明，牛頓在1676—1678年的著作中才出現了招差法的一般公式，比朱世杰等人的研究成果晚了近四百年。,,,,招差術與等差級數和的關系,2.5.1 算法化特征 “算術” 與算法化成果 算籌為中國數學發(fā)展提供了了技術工具，使中國在世界上最早采用了十進位值制記數法；使計算程序化和自動化 長期堅持走算法化的發(fā)展道路，限制了數學方法的流傳和改進。影響了邏輯體系的發(fā)展，很難達到現代

39、數學的發(fā)展水平,2.5.2 實用性思想 數學著作都以社會生產和生活實踐中的問題為綱，這些問題基本按社會、生活領域進行分類， 過分重實用，不利于抽象概念和命題的形成,2.5.3 政府控制的特征 中國傳統(tǒng)數學始終置于政府控制之下，直接受制于統(tǒng)治階級的意識形態(tài)和社會的需求,2.5 中國傳統(tǒng)數學的特點,較早的形成國家數學教育體制 明代封建統(tǒng)治者的政策不利于數學發(fā)展,2.5.4 連續(xù)性特征 主要表現在

40、以下幾個方面：歷代數學典籍體例的一致性數學的各分支發(fā)展的繼承性計算工具使用的一貫性 不受外來數學文化的影響 英國現代著名學者李約瑟這樣評述外域文化對中國的影響：“中國和它的西方鄰國以及南方鄰國之間的交往和反映，要比一向所認為的多得多，盡管如此，中國思想和文化模式的基本格調，卻保持著明顯的、從未間斷的自發(fā)性。這是中國‘與世隔絕’的真正涵義。過去，中國和外界是有接觸的，但是，這種接觸從來沒有多到足以影響它所特有文化以及科