1、1第5講函數的奇偶性和周期性★知識梳理知識梳理1函數的奇偶性的定義：①對于函數)(xf的定義域內任意一個x，都有)()(xfxf???〔或0)()(???xfxf〕，則稱)(xf為奇函數.奇函數的圖象關于原點對稱。②對于函數)(xf的定義域內任意一個x，都有)()(xfxf??〔或0)()(???xfxf〕，則稱)(xf為偶函數.偶函數的圖象關于y軸對稱。③通常采用圖像或定義判斷函數的奇偶性.具有奇偶性的函數，其定義域原點關于對稱（也就

2、是說，函數為奇函數或偶函數的必要條件是其定義域關于原點對稱）1函數的周期性命定義：對于函數)(xf，如果存在一個非零常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足)()(xfTxf??，那么函數)(xf就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期?！镏?、難點突破重、難點突破重點：函數的奇偶性和周期性，函數的奇偶性、單調性、周期性的綜合應用難點：函數的奇偶性的判斷函數的奇偶性與單調性、函數的奇偶性與周期性的綜合應用重難點：1.函數的奇偶性的判斷

3、：可以利用奇偶函數的定義判斷或者利用定義的等價形式)0)((1)()(0)()()()(????????????xfxfxfxfxfxfxf也可以利用函數圖象的對稱性去判斷函數的奇偶性.注意①若0)(?xf則)(xf既是奇函數又是偶函數若)0()(??mmxf則)(xf是偶函數；②若)(xf是奇函數且在0?x處有定義，則0)0(?f③若在函數)(xf的定義域內有)()(mfmf??，則可以斷定)(xf不是偶函數，同樣，若在函數)(xf的

4、定義域內有)()(mfmf???，則可以斷定)(xf不是奇函數。2奇偶函數圖象的對稱性（1）若)(xafy??是偶函數，則???????)()2()()(xfxafxafxaf)(xf的圖象關于直線ax?對稱；（2）若)(xbfy??是偶函數，則?????????)()2()()(xfxbfxbfxbf)(xf的圖象關于點)0(b中心對稱；3∵f（－x）=|－x1|－|－x－1|=|x－1|－|x1|=－（|x1|－|x－1|）=－f（

5、x），∴f（x）=|x1|－|x－1|是奇函數.（2）先確定函數的定義域.由xx??11≥0，得－1≤x＜1，其定義域不對稱于原點，所以f（x）既不是奇函數也不是偶函數.（3）去掉絕對值符號，根據定義判斷.由????????02|2|012xx得?????????.4011xxx且故f（x）的定義域為［－1，0）∪（0，1］，關于原點對稱，且有x2＞0.從而有f（x）=2212???xx=xx21?，∴f（－x）=xx???2)(1=－

6、xx21?=－f（x）故f（x）為奇函數.（4）∵函數f（x）的定義域是（－∞，0）∪（0，∞），并且當x＞0時，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1x）=－f（x）（x＞0）.當x＜0時，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函數f（x）為奇函數.【名師指引】函數的奇偶性是函數的一個整體性質定義域具有對稱性(即若奇函數或偶○1函數的定義域為D則Dx?時Dx??)是一個函數為奇函數或偶函數

7、的必要條件分段函數的奇偶性一般要分段證明.③判斷函數的奇偶性應先求定義域再化簡函數解析式.○2題型2：證明抽象函數的奇偶性[例2]（11年山東梁山）定義在區(qū)間)11(?上的函數f(x)滿足：對任意的)11(??yx，都有)1()()(xyyxfyfxf????.求證f(x)為奇函數；[思路點撥]欲證明)(xf為奇函數，就要證明)()(xfxf???，但這是抽象函數，應設法充分利用條件“對任意的)11(??yx，都有)1()()(xyyx

8、fyfxf????”中的yx進行合理“賦值”[解析]令x=y=0，則f(0)f(0)=)0()0100(ff???∴f(0)=0令x∈(－11)∴－x∈(－11)∴f(x)f(－x)=f(21xxx??)=f(0)=0∴f(－x)=－f(x)∴f(x)在(－1，1)上為奇函數【名師指引】對于抽象函數的奇偶性問題，解決的關鍵是巧妙進行“賦值”，而抽象函數的不等式問題，要靈活利用已知條件，尤其是f(x1)－f(x2)=f(x1)f(－x2)