1.5 函數的奇偶性和周期性 2_第1頁
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1、1第5講函數的奇偶性和周期性★知識梳理知識梳理1函數的奇偶性的定義:①對于函數)(xf的定義域內任意一個x,都有)()(xfxf???〔或0)()(???xfxf〕,則稱)(xf為奇函數.奇函數的圖象關于原點對稱。②對于函數)(xf的定義域內任意一個x,都有)()(xfxf??〔或0)()(???xfxf〕,則稱)(xf為偶函數.偶函數的圖象關于y軸對稱。③通常采用圖像或定義判斷函數的奇偶性.具有奇偶性的函數,其定義域原點關于對稱(也就

2、是說,函數為奇函數或偶函數的必要條件是其定義域關于原點對稱)1函數的周期性命定義:對于函數)(xf,如果存在一個非零常數T,使得定義域內的每一個x值,都滿足)()(xfTxf??,那么函數)(xf就叫做周期函數,非零常數T叫做這個函數的周期?!镏?、難點突破重、難點突破重點:函數的奇偶性和周期性,函數的奇偶性、單調性、周期性的綜合應用難點:函數的奇偶性的判斷函數的奇偶性與單調性、函數的奇偶性與周期性的綜合應用重難點:1.函數的奇偶性的判斷

3、:可以利用奇偶函數的定義判斷或者利用定義的等價形式)0)((1)()(0)()()()(????????????xfxfxfxfxfxfxf也可以利用函數圖象的對稱性去判斷函數的奇偶性.注意①若0)(?xf則)(xf既是奇函數又是偶函數若)0()(??mmxf則)(xf是偶函數;②若)(xf是奇函數且在0?x處有定義,則0)0(?f③若在函數)(xf的定義域內有)()(mfmf??,則可以斷定)(xf不是偶函數,同樣,若在函數)(xf的

4、定義域內有)()(mfmf???,則可以斷定)(xf不是奇函數。2奇偶函數圖象的對稱性(1)若)(xafy??是偶函數,則???????)()2()()(xfxafxafxaf)(xf的圖象關于直線ax?對稱;(2)若)(xbfy??是偶函數,則?????????)()2()()(xfxbfxbfxbf)(xf的圖象關于點)0(b中心對稱;3∵f(-x)=|-x1|-|-x-1|=|x-1|-|x1|=-(|x1|-|x-1|)=-f(

5、x),∴f(x)=|x1|-|x-1|是奇函數.(2)先確定函數的定義域.由xx??11≥0,得-1≤x<1,其定義域不對稱于原點,所以f(x)既不是奇函數也不是偶函數.(3)去掉絕對值符號,根據定義判斷.由????????02|2|012xx得?????????.4011xxx且故f(x)的定義域為[-1,0)∪(0,1],關于原點對稱,且有x2>0.從而有f(x)=2212???xx=xx21?,∴f(-x)=xx???2)(1=-

6、xx21?=-f(x)故f(x)為奇函數.(4)∵函數f(x)的定義域是(-∞,0)∪(0,∞),并且當x>0時,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1x)=-f(x)(x>0).當x<0時,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x<0).故函數f(x)為奇函數.【名師指引】函數的奇偶性是函數的一個整體性質定義域具有對稱性(即若奇函數或偶○1函數的定義域為D則Dx?時Dx??)是一個函數為奇函數或偶函數

7、的必要條件分段函數的奇偶性一般要分段證明.③判斷函數的奇偶性應先求定義域再化簡函數解析式.○2題型2:證明抽象函數的奇偶性[例2](11年山東梁山)定義在區(qū)間)11(?上的函數f(x)滿足:對任意的)11(??yx,都有)1()()(xyyxfyfxf????.求證f(x)為奇函數;[思路點撥]欲證明)(xf為奇函數,就要證明)()(xfxf???,但這是抽象函數,應設法充分利用條件“對任意的)11(??yx,都有)1()()(xyyx

8、fyfxf????”中的yx進行合理“賦值”[解析]令x=y=0,則f(0)f(0)=)0()0100(ff???∴f(0)=0令x∈(-11)∴-x∈(-11)∴f(x)f(-x)=f(21xxx??)=f(0)=0∴f(-x)=-f(x)∴f(x)在(-1,1)上為奇函數【名師指引】對于抽象函數的奇偶性問題,解決的關鍵是巧妙進行“賦值”,而抽象函數的不等式問題,要靈活利用已知條件,尤其是f(x1)-f(x2)=f(x1)f(-x2)

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