1、1第5講函數(shù)的奇偶性和周期性★知識梳理知識梳理1函數(shù)的奇偶性的定義：①對于函數(shù))(xf的定義域內(nèi)任意一個x，都有)()(xfxf???〔或0)()(???xfxf〕，則稱)(xf為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。②對于函數(shù))(xf的定義域內(nèi)任意一個x，都有)()(xfxf??〔或0)()(???xfxf〕，則稱)(xf為偶函數(shù).偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。③通常采用圖像或定義判斷函數(shù)的奇偶性.具有奇偶性的函數(shù)，其定義域原點關(guān)于對稱（也就

2、是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱）1函數(shù)的周期性命定義：對于函數(shù))(xf，如果存在一個非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足)()(xfTxf??，那么函數(shù))(xf就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。★重、難點突破重、難點突破重點：函數(shù)的奇偶性和周期性，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合應(yīng)用難點：函數(shù)的奇偶性的判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用重難點：1.函數(shù)的奇偶性的判斷

3、：可以利用奇偶函數(shù)的定義判斷或者利用定義的等價形式)0)((1)()(0)()()()(????????????xfxfxfxfxfxfxf也可以利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性.注意①若0)(?xf則)(xf既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)若)0()(??mmxf則)(xf是偶函數(shù)；②若)(xf是奇函數(shù)且在0?x處有定義，則0)0(?f③若在函數(shù))(xf的定義域內(nèi)有)()(mfmf??，則可以斷定)(xf不是偶函數(shù)，同樣，若在函數(shù))(xf的

4、定義域內(nèi)有)()(mfmf???，則可以斷定)(xf不是奇函數(shù)。2奇偶函數(shù)圖象的對稱性（1）若)(xafy??是偶函數(shù)，則???????)()2()()(xfxafxafxaf)(xf的圖象關(guān)于直線ax?對稱；（2）若)(xbfy??是偶函數(shù)，則?????????)()2()()(xfxbfxbfxbf)(xf的圖象關(guān)于點)0(b中心對稱；3∵f（－x）=|－x1|－|－x－1|=|x－1|－|x1|=－（|x1|－|x－1|）=－f（

5、x），∴f（x）=|x1|－|x－1|是奇函數(shù).（2）先確定函數(shù)的定義域.由xx??11≥0，得－1≤x＜1，其定義域不對稱于原點，所以f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（3）去掉絕對值符號，根據(jù)定義判斷.由????????02|2|012xx得?????????.4011xxx且故f（x）的定義域為［－1，0）∪（0，1］，關(guān)于原點對稱，且有x2＞0.從而有f（x）=2212???xx=xx21?，∴f（－x）=xx???2)(1=－

6、xx21?=－f（x）故f（x）為奇函數(shù).（4）∵函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，0）∪（0，∞），并且當(dāng)x＞0時，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1x）=－f（x）（x＞0）.當(dāng)x＜0時，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函數(shù)f（x）為奇函數(shù).【名師指引】函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個整體性質(zhì)定義域具有對稱性(即若奇函數(shù)或偶○1函數(shù)的定義域為D則Dx?時Dx??)是一個函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)

7、的必要條件分段函數(shù)的奇偶性一般要分段證明.③判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡函數(shù)解析式.○2題型2：證明抽象函數(shù)的奇偶性[例2]（11年山東梁山）定義在區(qū)間)11(?上的函數(shù)f(x)滿足：對任意的)11(??yx，都有)1()()(xyyxfyfxf????.求證f(x)為奇函數(shù)；[思路點撥]欲證明)(xf為奇函數(shù)，就要證明)()(xfxf???，但這是抽象函數(shù)，應(yīng)設(shè)法充分利用條件“對任意的)11(??yx，都有)1()()(xyyx

8、fyfxf????”中的yx進(jìn)行合理“賦值”[解析]令x=y=0，則f(0)f(0)=)0()0100(ff???∴f(0)=0令x∈(－11)∴－x∈(－11)∴f(x)f(－x)=f(21xxx??)=f(0)=0∴f(－x)=－f(x)∴f(x)在(－1，1)上為奇函數(shù)【名師指引】對于抽象函數(shù)的奇偶性問題，解決的關(guān)鍵是巧妙進(jìn)行“賦值”，而抽象函數(shù)的不等式問題，要靈活利用已知條件，尤其是f(x1)－f(x2)=f(x1)f(－x2)