1、二面角的求法二面角的求法一、一、定義法：定義法：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的棱這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。例1（全國(guó)卷（全國(guó)卷Ⅰ理）理）如圖，四棱錐SABCD?中，底面ABCD為矩形，SD?底面ABCD，2AD?2DCSD??，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，ABM?=60（I）證明：M在側(cè)棱SC的中點(diǎn)（II）求二面角SAM

2、B??的大小。練習(xí)練習(xí)1（山東（山東）如圖，已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BCPC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：AE⊥PD（Ⅱ）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，60ABC???EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值.62二、三垂線法二、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大

3、小。例2(山東卷理山東卷理)如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，ABCD，AB=4BC=CD=2AA1=2E、E1、F分別是棱AD、AA1、AB的中點(diǎn)。(1)證明：直線EE1平面FCC1；(2)求二面角BFC1C的余弦值。練習(xí)練習(xí)2（天津）（天津）如圖，在四棱錐中，底面是矩形ABCDP?ABCD已知?6022223??????PABPDPAADAB（Ⅰ）證明平面；（Ⅱ）求異面直線與所成的角的大小；?ADP

4、ABPCAD（Ⅲ）求二面角的大小ABDP??三補(bǔ)棱法三補(bǔ)棱法本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確交線的求二面角題目時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒(méi)有明確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決例3（湖南）（湖南）如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD＝60，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB（Ⅱ

5、）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.練習(xí)練習(xí)3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱長(zhǎng)都是a，側(cè)棱與底面成600的角，側(cè)面BCC1B1⊥底面ABC。（1）求證：AC1⊥BC；（2）求平面AB1C1與平面ABC所成的二面角（銳角）的大小。ABCEDPEABCFE1A1B1C1D1D二面角大小的求法的歸類分析二面角大小的求法的歸類分析一、定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)）一、定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），

6、分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；圖形的特性；例1在四棱錐PABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角BPC—D的大小。二、三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面二、三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的

7、平面角；角；例2在四棱錐PABCD中，ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30，求二面角PBCA的大小。三、三、垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；二面角的平面角所在的平面與棱垂直；例3在四棱錐PABC

8、D中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求BPCD的大小。四、射影面積法（四、射影面積法（）cossSq=射射凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小，其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫(huà)出平面角；斜射SS???例4在四棱錐PABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。五