1、第八節(jié)第八節(jié)數(shù)學建模數(shù)學建?！⒎址匠痰膽门e例微分方程的應用舉例微分方程在物理學、力學、經濟學和管理科學等實際問題中具有廣泛的應用，本節(jié)我們將集中討論微分方程的實際應用，讀者可從中感受到應用數(shù)學建模的理論和方法解決實際問題的魅力.內容分布內容分布★衰變問題★邏輯斯諦方程★價格調整問題★人才分配問題模型★追跡問題內容要點：內容要點：一、衰變問題一、衰變問題鐳、鈾等放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質量這種現(xiàn)象稱為放射性物質的衰

2、變.根據(jù)實驗得知衰變速度與現(xiàn)存物質的質量成正比求放射性元素在時刻t的質量.用x表示該放射性物質在時刻t的質量則表示x在時刻t的衰變速度于是“衰dxdt變速度與現(xiàn)存的質量成正比”可表示為(8.1).dxkxdt??這是一個以x為未知函數(shù)的一階方程它就是放射性元素衰變的數(shù)學模型衰變的數(shù)學模型其中是比例常數(shù)稱為衰變常數(shù)因元素的不同而異.方程右端的負號表示當時間t增加0k?時質量x減少.解方程(8.1)得通解若已知當時代入通解中可得.ktxCe

3、??0tt?0xx?ktxCe??則可得到方程(8.1)特解00ktCxe?0()0kttxxe???它反映了某種放射性元素衰變的規(guī)律.注:物理學中我們稱放射性物質從最初的質量到衰變?yōu)樵撡|量自身的一半所花費的時間為半衰期不同物質的半衰期差別極大.如鈾的普通同位素()的半衰期約為50億年238U通常的鐳()的半衰期是1600年.半衰期是上述放射性物質的特征然而半衰期卻不依226Ra賴于該物質的初始量一克衰變成半克所需要的時間與一噸衰變成半

4、噸所需要226Ra226Ra的時間同樣都是1600年正是這種事實才構成了確定考古發(fā)現(xiàn)日期時使用的著名的碳14測驗的基礎.傳染的人越來越多傳染的速度也越來越快最后傳染速度自然而然地漸漸降低因為已經沒有多少人可被傳染了.下面舉兩個例子說明邏輯斯諦的應用.人口阻滯增長模型1837年荷蘭生物學家Verhulst提出一個人口模型(8.3)00()()dyykbyytydt???其中的稱為生命系數(shù).kb我們不詳細討論這個模型只提應用它預測世界人口數(shù)

5、的兩個有趣的結果.有生態(tài)學家估計k的自然值是0.029.利用本世紀60年代世界人口年平均增長率為2%以及1965年人口總數(shù)33.4億這兩個數(shù)據(jù)計算得從而估計得:2b?(1)世界人口總數(shù)將趨于極限107.6億.(2)到2000年時世界人口總數(shù)為59.6億.后一個數(shù)字很接近2000年時的實際人口數(shù)世界人口在1999年剛進入60億.新產品的推廣模型新產品的推廣模型設有某種新產品要推向市場t時刻的銷量為由于產品性能良()xt好每個產品都是一個宣

6、傳品因此t時刻產品銷售的增長率與成正比同時考dxdt()xt慮到產品銷售存在一定的市場容量N統(tǒng)計表明與尚未購買該產品的潛在顧客的數(shù)量dxdt也成正比于是有()Nxt?(8.4)()dxkxNxdt??其中k為比例系數(shù).分離變量積分可以解得(8.5)()1kNtNxtCe???由的圖像知，當時則有即銷量單調增加.當時dxxdt:()xtN?0dxdt?()xt()2Nxt?當時當時即當銷量達到最大需求量220dxdt?()2Nxt?220

7、dxdt?()2Nxt?220dxdt?N的一半時產品最為暢銷當銷量不足N一半時銷售速度不斷增大當銷量超過一半時銷售速度逐漸減少.國內外許多經濟學家調查表明.許多產品的銷售曲線與公式(8.5)的曲線(邏輯斯諦曲線)十分接近.根據(jù)對曲線性狀的分析許多分析家認為在新產品推出的初期應采用小批量生產并加強廣告宣傳而在產品用戶達到20%到80%期間產品應大批量生產在產品用戶超過80%時應適時轉產可以達到最大的經濟效益.三、價格調整模型三、價格調整