1、高考數學專題講座授人以魚，不如授人以漁。讓數學不再成為障礙！嵩明縣第一中學吳學偉13577103702第1頁共11頁特征方程法求解遞推關系中的數列通項特征方程法求解遞推關系中的數列通項一、（一階線性遞推式）設已知數列的項滿足nadcaabann????11其中求這個數列的通項公式。10??cc采用數學歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項公式中容易出錯，本文提出一種易于被學生掌握的解法——特征方程法：針對問題中的遞推

2、關系式作出一個方程稱之為特征方dcxx??程；借助這個特征方程的根快速求解通項公式.下面以定理形式進行闡述.定理1：設上述遞推關系式的特征方程的根為，則當時，0x10ax?為常數列，即，其中是以為公na0101xbaaxaannn????時當nbc比的等比數列，即.01111xabcbbnn????證明：因為由特征方程得作換元則10?c.10cdx??0xabnn??.)(110011nnnnnncbxacccdcacddcaxab??

3、????????????當時，，數列是以為公比的等比數列，故10ax?01?bnbc11??nncbb當時，，為0數列，故（證畢）10ax?01?bnb.N1??naan下面列舉兩例，說明定理1的應用.例1已知數列滿足：求na4N23111??????anaann.na解：作方程.232310?????xxx則當時，41?a.211231101????abxa數列是以為公比的等比數列.于是nb31?.N)31(2112323)31(21

4、1)31(1111???????????????nbabbnnnnnn高考數學專題講座授人以魚，不如授人以漁。讓數學不再成為障礙！嵩明縣第一中學吳學偉13577103702第3頁共11頁則數列是以為首項，為公比的等比數列，于是??nnaa??1ab?32。把代入，得11)32)((?????nnnabaann321????，abaa???12，)32()(23????abaa，234)32()(????abaa???。21)32)((?

5、????nnnabaa把以上各式相加，得。])32()32(321)[(21???????????nnabaa)(321)32(11abn?????。abbaaabannn23)32)((3)]()32(33[11???????????解法二（特征根法）：數列：??na)0(025312Nnnaaannn???????，的特征方程是：。baaa??2102532???xx32121??xx?。?1211????nnnBxAxa1)32(