1、Smarandache函數(shù)，Smarandache原函數(shù)，Dirichlet除數(shù)函數(shù)，Euler函數(shù)以及一些特殊的函數(shù)和數(shù)列在數(shù)論中占有很重要的地位.研究它們的均值性質(zhì)以及彼此之間的相互關(guān)系是一個(gè)很有意義的課題.許多著名的數(shù)論難題都與之密切相關(guān).因此，在這一領(lǐng)域內(nèi)取得任何實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展都將會(huì)對(duì)數(shù)論的發(fā)展起到重要的推動(dòng)作用! 本文研究了這些數(shù)論函數(shù)的均值性質(zhì)和混合均值性質(zhì)，通過研究函數(shù)之間的關(guān)系，建立了幾個(gè)方程，并對(duì)它們進(jìn)行求解，給

2、出了這些方程的全部整數(shù)解.具體來說，主要成果包括以下幾個(gè)方面： 1.研究了一類新的平方補(bǔ)數(shù)函數(shù)6(n!)的均值估計(jì)問題，并給出了ln(6(n!))的一個(gè)漸近公式. 2.對(duì)于第82個(gè)Smarandache問題，利用初等數(shù)論的方法研究了k次根的整數(shù)部分與Euler函數(shù)的混合均值問題，并給出了兩個(gè)漸近公式. 3.研究了由A.W.Vyawahare定義的近似偽Smarandache函數(shù)的性質(zhì)，利用解析方法研究了近似偽Sm

3、arandache函數(shù)與Dirichlet除數(shù)函數(shù),Euler函數(shù)的混合均值，得到了兩個(gè)漸近公式；同時(shí)利用初等方法研究了近似偽Smarandache函數(shù)與簡(jiǎn)單數(shù)相關(guān)的均值性質(zhì)，從而給出兩個(gè)漸近公式. 4.通過研究Smarandache原函數(shù)的性質(zhì),建立了包含一類自然數(shù)乘積之和，自然數(shù)立方和與Smarandache原函數(shù)之間的兩個(gè)方程，同時(shí)通過對(duì)Lucas數(shù)性質(zhì)的研究，建立了包含Lucas數(shù)和Smarandache原函數(shù)的方程，利