1、本論文討論了歐氏空間中的加倍測(cè)度的胖集和瘦集,對(duì)一些具體的集類(lèi)給出了判定集合是胖集和瘦集的充要條件.全文包含三大部分.
　　第一部分,主要研究什么樣的空間上僅支撐純?cè)蛹颖稖y(cè)度,什么樣的空間上不支撐純?cè)蛹颖稖y(cè)度的問(wèn)題.這個(gè)問(wèn)題來(lái)源于Kaufman和Wu,在這篇文章中,他們證明了X上的所有加倍測(cè)度相互絕對(duì)連續(xù)的充要條件是X上僅支撐純?cè)蛹颖稖y(cè)度.設(shè)X=ΕxUFx,其中Εx表示X中的聚點(diǎn)集,Fx表示孤立點(diǎn)集.主要思想就是尋找參數(shù)來(lái)刻

2、畫(huà)Fx和Εx的相對(duì)大小.通過(guò)對(duì)聚點(diǎn)集與孤立點(diǎn)集相對(duì)位置的刻畫(huà),得出以下結(jié)論:設(shè)X是直線(xiàn)R上的緊子集,滿(mǎn)足:(F)x=X且Εx是完全集.如果存在{Εk}∞k=0∈21x使得對(duì)任意p>0有∑k∈zλ-pk=∞,則X上僅支撐純?cè)蛹颖稖y(cè)度;設(shè)X是直線(xiàn)R上的緊子集,滿(mǎn)足:(F)x=X且Εx是完全集.如果存在{Εk}∞k=0∈21x使得對(duì)任意r∈(0,1)有∑k∈zrnk<∞,則X上不支撐純?cè)蛹颖稖y(cè)度.
　　第二部分,主要研究直線(xiàn)上一類(lèi)特

3、殊的Moran集,λ-Moran集,給出了判定其是胖集和瘦集的充要條件.有以下結(jié)論:設(shè)Ε=Ε({nk},{ck,i})為一λ-Moran集.則Ε為加倍測(cè)度胖集,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的01都有∑∞ k=1(1-∑nk i=1 ck,i)p=∞.
　　第三部分,討論了高維空間上集合的胖瘦

4、問(wèn)題.在加倍測(cè)度意義下,按照大小, Rn的子集可以分為六個(gè)類(lèi).這六類(lèi)分別為非常胖,比較胖,有點(diǎn)胖,非常瘦,比較瘦,有點(diǎn)瘦.我們主要研究了對(duì)于[0,1]n的加倍測(cè)度而言,n個(gè)[0,1]上的子集的乘積集在什么情況下分別屬于VF,FF,MF,VT,FT,MT?對(duì)于上述問(wèn)題我們有如下結(jié)果:設(shè)Ε1,…,Εn為[0,1]中的任意n個(gè)Lebesgue零測(cè)子集.則:Ε1×…×Εn∈VT當(dāng)且僅當(dāng)存在i使得Εi∈VT;Ε1×…×Εn∈MT當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的i

5、都有Εi∈MT.設(shè)Ε1,…,Εn為[0,1]中的任意n個(gè)Lebesgue正測(cè)子集.則:如果Ε1×…×Εn∈VF那么對(duì)任意的i都有Εi∈VF;如果存在??使得????∈MF,那么Ε1×…×Εn∈MF.不知道上述定理中的兩條結(jié)論的另外一邊對(duì)于一般集合的乘積集是否正確,但對(duì)于均勻康托集是正確的,有如下結(jié)論:設(shè)Ε1,…,Εn為[0,1]中具有正的Lebesgue測(cè)度的均勻康托集.則:Ε1×…×Εn∈VF當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的i都有Εi∈VT;Ε1×…