1、為解決距離正則圖的分類問題，T.Ito，K.Tanabe和PTerwilliger提出了三對角對的概念，它是Leonard對的推廣.T.Ito，K.Tanabe和P.Terwilliger等數學家在研究三對角對的過程中又相繼提出了諸如反向對，海森伯格對，循環(huán)Leonard對和Leonard三元組等相關的概念，并對它們進行了深入研究.這些理論對距離正則圖的分類有重要作用，且與李代數，量子群的表示理論有密切聯系.E.RvanDam，J.HK

2、oolen和H.Tanaka在其綜述文章“距離正則圖”中稱該理論為Terwilliger代數的表示理論.
　　 本文主要討論了帶尖的三對角對系統(tǒng)的本原冪等元的一些乘積的跡，(1，2，1)型q-反向對的分類以及Krawtchouk型Leonard三元組的構作等問題.全文由五章組成，主要內容如下:
　　 第一章，介紹了Terwilliger代數表示理論的發(fā)展歷史和研究現狀，列出了本文解決的問題和得到的主要結果.
　　

3、 第二章，利用帶尖的三對角對系統(tǒng)的參數陣列，給出了跡的表達式.解決了K.Nomura和P.Terwilliger提出的帶尖的三對角對系統(tǒng)中關于本原冪等元的一些乘積的跡的問題.
　　 第三章，首先給出了(1，2，1)型q-反向對K，K*的參數對，利用參數對完成了(1，2，1)型q-反向對的分類.
　　 第四章，由給定的Krawtchouk型Leonard對A,A*，構作了Krawtchouk型Leonard三元組A，A*，