1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設計）</p><p><b>　?。ā?0 　屆）</b></p><p><b>　　函數的凸性及應用</b></p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要：凸函數是一類非常重要的函數，運用函數的凸性，不

3、僅可以科學、準確的描述函數的圖像，而且也可以用來證明一些不等式，同時，凸函數的研究結果也在許多領域得到了廣泛的應用。本文首先介紹了凸函數的定義；接著介紹了凸函數的幾個定理；然后介紹了凸函數的性質；最后進一步介紹了凸函數的應用。本文主要集中考慮了凸函數在下面幾方面中的應用：凸函數在證明Hadamard不等式中的應用，凸函數在證明Jensen不等式中的應用，凸函數在一些分析不等式中的應用等。</p><p>　　關鍵

4、詞：凸函數；連續(xù)；等價描述；不等式</p><p>　　Convex Function and Its Application</p><p>　　Abstract： Convex function is a kind of very important functions，when considering the convexity of function, it can not onl

5、y describe the image of function much more scientifically and accurately, but also can be made use of to prove inequalities. At present convex function has a widely application in many areas. In this paper, we firstly in

6、troduce the definition of convex function, and take an overview of the property of Convex function, based on properties of convex function, we then further pr</p><p>　　Key words: Convex function; Continuous;

7、 Equivalent description; Inequality</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 緒 論1</b></p><p>　　1.1 問題的背景及研究意義1</p><p>　　2 凸函數的定義及性質3</p>&

8、lt;p>　　2.1 凸函數的定義3</p><p>　　2.2 相關的幾個定理3</p><p>　　2.3 凸函數的性質7</p><p>　　3 凸函數的應用13</p><p>　　3.1凸函數在證明初等不等式中的應用13</p><p>　　3.2凸函數在證明函數不等式中的應用14<

9、/p><p>　　3.3凸函數在證明積分不等式中的應用14</p><p>　　3.4凸函數在證明Jensen不等式中的應用15</p><p>　　3.5凸函數在證明Hadamard不等式中的應用16</p><p><b>　　4 結論18</b></p><p><b>　　

10、致 謝19</b></p><p><b>　　參考文獻20</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 問題的背景及研究意義</p><p>　　在數學思想方法中，函數思想是很重要的一種思想方法，其精髓在于利用函數的相關性質對討論的問題進

11、行推理和論證，進而尋求解決問題的途徑。重要的數學概念對數學發(fā)展的作用是不可估量的，函數概念對數學發(fā)展的影響，可以說貫穿古今。凸函數是一類性質特殊的函數，它在證明比較復雜的不等式方面有著重大作用，本文將對凸函數的性質在比較經典的不等式證明中的簡單應用進行初步討論。</p><p>　　1718年，瑞士數學家約翰·貝努里通過結合以前科學家的成果才在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數進行了明確的定義。18世紀中葉

12、歐拉給出了非常形象的，一直沿用至今的函數符號。歐拉給出的定義是：一個變量的函數是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。歐拉給出的函數定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。1822年傅里葉發(fā)現某些函數可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新的層次。1823年柯西從定義變量開始給出了函數的定義。1837年狄利克雷拓廣了函

13、數概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的值，都有一個或多個確定的值，那么叫做的函數?！钡依死椎暮瘮刀x，出色地避免了以往函數定義中所有的關于依賴關系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義。</p><p>　　在函數概念的定義經過近二百年的錘煉、變革后，1905年丹麥數學家Jensen首次給出了凸函數的定

14、義，開創(chuàng)了凸函數研究的先河，經過近百年努力，凸函數的研究在各個方面正得到長足的發(fā)展，其中，凸函數的判據研究已接近完善，在現代學習和生活中的重要性已經不斷的凸顯出來。凸分析是近年來凹凸函數發(fā)展起來的一門應用十分廣泛的數學支，尤其是在最優(yōu)化理論方面的應用更為突出，人們對凸分析的自身理論發(fā)展也進行了廣泛的深入研究，使得凸函數的性質也得到了較好的發(fā)展。在凸規(guī)劃理論、尤其是非線性最優(yōu)化中，函數的凸性分析是最基本的，又是最重要的，近年來，研究函數各

15、種凸性的文獻越來越多。</p><p>　　凸函數是一類重要的函數。對函數凹凸性的研究，在數學的多個分支都有用處。特別是在函數圖形的描繪和不等式的推導方面，凸函數都有著十分重要的作用。同樣凸函數是數學分析中的一個重要概念，它涉及了許多數學命題的討論證明和應用，而且在現代優(yōu)化學、運籌學、管理學、和工程測繪學等多個學科有著重要的意義。</p><p>　　函數凸性的應用顯著地體現在求最值、不等

16、式的證明上。不等式的證明方法很多，技巧性強，函數凸性是函數在區(qū)間上變化的整體形態(tài)，是研究不等式的重要方法之一，巧妙的構造凸函數，可以簡單輕快得證明不等式。凸函數在數學規(guī)劃中有著廣泛的應用背景,一些常見的不等式都可以從函數的凸性中導出。在不等式的研究中，凸函數所發(fā)揮的作用是無可替代的。與凸函數有關的不等式是基礎數學理論的重要工具，尤其在不等式的證明中發(fā)揮的作用是無可替代的，其中Jensen不等式與Hadamard不等式更是起到了重要的作用

17、。Jensen不等式通常用來證明有限不等式，它是將無窮項求和與積分聯(lián)系起來的重要橋梁。利用Hadamard不等式可以對兩個正數的幾何平均數與算數平均數加細。</p><p>　　2 凸函數的定義及性質</p><p>　　2.1 凸函數的定義</p><p>　　通過數學分析的學習，對于函數和的圖像，我們很容易看出它們之間的不同點：曲線上任意兩點間的弧段總在這兩

18、點連線的下方；而曲線則相反，在任意兩點間的弧段總在這兩點連線的上方。通過這兩個函數，我們把前一種特性的曲線稱為凸的，后一種為凹的。對于凸的我們稱其函數為凸函數。</p><p>　　數學分析[2]給出了凸函數的基本定義：設為定義在區(qū)間上的函數，若對上的任意兩點，和任意實數總有,則稱為上的凸函數。</p><p>　　當上面的不等式變?yōu)闀r，其余條件不變，該函數稱為嚴格凸函數。</p&g

19、t;<p>　　江芹,陳文略[3]給出了區(qū)間上嚴格凸函數的判定方法。</p><p>　　判定方法：1、設為區(qū)間上可導函數，在上嚴格遞增，則在區(qū)間上是嚴格凸函數。反之，不成立；2、設為區(qū)間上二階可導函數,在上.則在區(qū)間上是嚴格凸函數。</p><p>　　2.2 相關的幾個定理</p><p>　　古小敏[4]介紹了幾種判別凸函數的定理，并給出了幾個

20、結論的證明。</p><p>　　定理1：且；，則為凸函數。</p><p>　　定理2：若在內存在單增函數，有，則為凸函數。</p><p>　　定理3：若在內可導，；有，則為凸函數。</p><p>　　定理4：為區(qū)間上凸函數的充要條件：函數為上的凸函數，。</p><p>　　定理5：若在上連續(xù)，且，有</

21、p><p><b>　　，則為凸函數。</b></p><p>　　定理6：在內二次可導，，則為凸函數。</p><p>　　定理7：若在內可導，且單調遞增，則為凸函數。</p><p>　　相關的幾個主要結論及其證明：</p><p>　　結論1[5]：若在區(qū)間上可導，則定理。</p>

22、<p>　　證明：若在內存在單增函數，有：</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　故對于不妨設，有：</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　將式（1）兩邊關于求導，得。</p><

23、;p>　?。?）-（2），得：</p><p>　?。?）因為單調遞增，且，所以，式（2）可化為：</p><p>　　即 </p><p>　　結論2：若在區(qū)間上連續(xù)，則定理。</p><p>　　證明：因為為上的凸函數，故：</p><p><b>　　特別地，當時，有。<

24、/b></p><p><b>　　先證不等式的左邊：</b></p><p>　　由實數的性質知在上可確定一個閉區(qū)間，若</p><p>　　，則關于的對稱點是，而在區(qū)間上連續(xù)，所以積分存在，。所以</p><p>　　即 </p><p>　　下面

25、證不等式的右邊：</p><p><b>　　作變換，則</b></p><p><b>　　當時，時，。</b></p><p>　　即 </p><p>　　故 。</p><p>　　結論3：若在內二次可導，

26、則定理。</p><p><b>　　證明：因且，有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　令則，故，</b></p><p><b>　　即。因為，所以</b></p><p>　　；又因為在

27、上可導，則在上連續(xù)，故由極限的性質可知：，即。因為具有二階導數，所以，，即都有，設為上任一固定點，則，所以。</p><p>　　結論4：若在區(qū)間內可導，則定理。</p><p>　　證明：因為在區(qū)間內可導，且。</p><p><b>　　所以可得單調遞增。</b></p><p><b>　　可得，<

28、/b></p><p>　　由定義6可得，為凸函數。</p><p><b>　　結論5：由定理：</b></p><p>　　證明：因為在內可導，且單調遞增，由實數的性質知在上可確定兩個閉區(qū)間，，曲線在的切線方程為。</p><p>　　故橫坐標為的曲線的縱坐標與切線坐標之差為：</p><p

29、><b>　?。?）</b></p><p>　　而在內可導，而，故在上連續(xù)，在上可導。所以在上滿足拉格朗日定理，即在</p><p>　　由式（4），當 時，有：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　同理在上滿足拉格朗日中值定理。即</p><

30、p>　　由式（4），當 時，有：</p><p><b>　　（6）</b></p><p><b>　　由式（5）得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由式（6）得</b></p><p

31、><b>　　，</b></p><p>　　所以 </p><p>　　通過凸函數等價定義相互之間的推導與了解，我們能更加好的了解凸函數，并運用其定義，更好的來處理一些較復雜的問題。</p><p>　　2.3 凸函數的性質</p><p>　　通過以上凸函數定義的介

32、紹，我們可以進一步推出凸函數的性質，合理的運用凸函數的定義和性質，才能更加方便的進行求解不等式，使不等式的解題過程變得更加簡便。</p><p>　　性質1[6]：若為上的凸函數，則對任意</p><p><b>　　有，</b></p><p>　　該不等式稱為Jensen不等式，該性質是凸函數的一個重要性質，也是定義的一般情況?？梢哉f，凸函

33、數在不等式證明中的應用很大程度上是由Jensen不等式來體現的，因為每個凸函數都有一個Jensen不等式，因而它在一些不等式證明中有著廣泛的應用。利用它我們可以推出常用的一些重要公式，為我們證明不等式開辟一條新路。</p><p>　　性質2[7]：凸函數與正的常數相乘仍為凸函數（若為區(qū)間上的凸函數，則對于，有也是上的凸函數）。</p><p>　　證明：由于是區(qū)間上的凸函數，則和有。&l

34、t;/p><p><b>　　上式兩端均乘以</b></p><p>　　由凸函數的定義可知是區(qū)間上的凸函數。</p><p>　　性質3：兩個或幾個凸函數之和仍為凸函數。（若與均為區(qū)間上的凸函數，則也是區(qū)間上的凸函數）。</p><p>　　證明：和，因為與均為區(qū)間上的凸函數，</p><p>　　

35、所以 </p><p><b>　　兩式相加，便得</b></p><p>　　由凸函數的定義知也是區(qū)間上的凸函數。</p><p>　　性質4：若是單調遞增的凸函數，也是凸函數。則復合函數也是凸函數。</p><p>　　證明：因為是單調遞增的凸函數和也是凸函數</p><p&

36、gt;<b>　　故，，</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　顯然</b></p><p><b>　　所以是凸函數。</b></p><p>　　性質5[8]：設與都是上的非負單調遞增的凸函數，則也是其上的凸函數。

37、</p><p>　　證明：對且和，因為與在上單調遞增。</p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　因為與為上的凸函數</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　而，將上面兩個不等式相乘，可得</

38、p><p>　　由凸函數的定義知是上的凸函數。</p><p>　　注：1. ，非負不能少。</p><p>　　例如，，均為凸函數，但是，顯然不是凸函數，原因是為負。</p><p>　　2. ，單調遞增不能少。</p><p>　　例如，在是非負凸函數，</p><p>　　但是，不是上的凸函數

39、，原因是單調遞減的。</p><p>　　性質6：若是在上二階可導的凸函數，則對內任意的點，</p><p><b>　　有。</b></p><p>　　證明：由性質可知令將函數在點展開有，在上式中分別令得</p><p><b>　　因為時，有</b></p><p>&

40、lt;b>　　所以，故</b></p><p>　　性質 7：林銀河[10]論述了凸函數的等價性質：若在區(qū)間上有定義，若在上為凸函數；可得以下2個命題等價：</p><p><b>　　命題1：，，有；</b></p><p>　　命題2：，且不全為零，有</p><p><b>　　。<

41、;/b></p><p>　　證明：命題1和命題2是顯然等價的。</p><p>　　現在先用歸納法來證明命題1成立：</p><p>　　當時，由凸函數的定義可證得命題1成立；</p><p><b>　　設時，命題1成立。</b></p><p><b>　　當時，不妨設，&l

42、t;/b></p><p><b>　　由此當時也成立，</b></p><p>　　這就證得對任何自然數，為凸函數，命題1成立。</p><p>　　性質 8：凸函數的微積分性質</p><p>　　劉鴻基，張志宏[11]指出凸函數是一類重要的函數，有著較好的分析性質，而關于凸函數，一般教材大都從幾何意義方面引出

43、定義，描述為：凸曲線弧段上任意兩點聯(lián)結而成的弦，總是位于曲線弧段的下方；或者，當曲線各點處存在切線時，凸曲線弧全部位于曲線上各點處切線的下方。前者往往作為定義使用，后者是凸函數的充分必要條件，也可以作為定義作用。劉鴻基，張志宏[11]舉證了凸函數的4個等價性定義，并對凸函數的微積分性質予以討論，得到兩個重要的微積分性質：</p><p>　　1.設在區(qū)間內可導，則在上是凸函數的充分必要條件是：對任意點，恒有。&l

44、t;/p><p>　　2.設是上的凸函數，則</p><p>　　性質2分析：因為是閉區(qū)間上的凸函數，因而是連續(xù)的，也是可積的。</p><p><b>　　當時，，</b></p><p>　　因此有 。</p><p>　　根據定義，可得 </p>

45、;<p>　　即 。</p><p>　　根據定積分性質 對于，</p><p>　　令 </p><p>　　則 </p><p>　　所以 </p>&

46、lt;p>　　再者，若令，則，于是</p><p>　　綜上所述，結論成立。</p><p>　　凸函數除了以上幾種性質外還存在著另外的性質，例如連續(xù)性：函數的連續(xù)性是函數性態(tài)的一項基本而又重要的特征。由于Jensen定義中并沒有對函數作出連續(xù)性及可導性假設，Jensen意義下凸函數并不一定是連續(xù)函數，而連續(xù)函數也不一定是凸函數，從凸函數的定義出發(fā)，研究連續(xù)函數與凸函數的關系。那么我

47、們就會提出這樣的問題：當連續(xù)函數滿足何種條件時，是區(qū)間上的凸函數；當凸函數滿足何種條件時，是區(qū)間上的連續(xù)函數；連續(xù)凸函數在區(qū)間上具有何種性質？</p><p>　　例如函數，我們容易證明在上是凸函數，但在上不連續(xù)。存在函數，可以得出函數在上是連續(xù)的，但是函數在上不是凸函數。</p><p>　　上面這個例題說明凸函數并不一定是連續(xù)函數，而連續(xù)函數也不一定是凸函數。</p>&

48、lt;p>　　通過對凸函數定義和性質的了解，是為了接下去能更好的運用到凸函數的應用之中，利用凸函數的定義和性質證明不等式時，關鍵是如何巧妙地構造出能夠解決問題的凸函數。并且在解題過程中靈活的運用凸函數進行求解，使一些較難的問題得到很好的解決。</p><p><b>　　3 凸函數的應用</b></p><p>　　凸性是一種重要的幾何性質，凸函數是一種性質特

49、殊的函數。凸集和凸函數在泛函分析，最優(yōu)化理論，數理經濟學等領域都有著廣泛的應用。凸函數也是高等數學中的一個基本內容，他在證明比較復雜的不等式方面有著重大作用。通過探討了凸函數與不等式之間的密切關系，利用凸函數的凸性來研究不等式，比傳統(tǒng)方法更簡潔，還進一步探討了不等式的一些具體應用。</p><p>　　凸函數的應用領域非常廣泛，特別是在不等式的證明中，函數凸性的應用顯著地體現在求最值、不等式的證明上。利用凸函數的

50、性質證明有關不等式，可以使難度較大且證明過程復雜的問題轉化為證明比較容易，證明過程簡單的問題，關鍵是尋找合適的凸函數，若不能直接找出，則可以對不等式進行適當的變形，從而達到證明不等式的目的。凸函數在數學規(guī)劃中有著廣泛的應用背景,一些常見的不等式都可以從函數的凸性中導出。鄒自德[12]指出：凸函數具有較好的幾何和代數性質，由凸函數可以引導出各種平均值并對這些平均值進行比較。</p><p>　　梁艷[13]指出：凸

51、函數是一類非常重要的函數，在不等式的研究中，凸函數所發(fā)揮的作用是無可替代的，可以根據凸凹函數的特性，結合典型事例，來說明凸函數在處理一些有較大難度不等式證明中的應用。</p><p>　　證明不等式是凸函數的一個重要的應用領域，但是關鍵是構造能解決問題的凸函數。</p><p>　　3.1 凸函數在證明初等不等式中的應用</p><p>　　例：證明：當且時，有&

52、lt;/p><p>　　有人看到題中有就會設，則。但是仔細一看就會發(fā)現由要證的不等式怎么也構造不出，所以構造輔助函數是不行的。</p><p>　　我們把要證的不等式稍作變形，兩邊同乘以，得到，這時顯而易見，若構造輔助函數，則即證。</p><p><b>　　證明：設</b></p><p>　　可得

53、 ，</p><p>　　得出在上是嚴格凸函數，</p><p><b>　　所以，有：</b></p><p><b>　　即：</b></p><p>　　3.2 凸函數在證明函數不等式中的應用</p><p>　　例：證明：對任何非負實數有：</p&g

54、t;<p><b>　　證明：令，</b></p><p><b>　　，因此</b></p><p>　　在上是凸的，由性質可知，對任何的非負實數有：</p><p><b>　　即：</b></p><p><b>　　例：已知：求證：</b&

55、gt;</p><p>　　證明：設因為，由性質可知在上為凸函數，根據凸函數性質</p><p><b>　　命題得證。</b></p><p>　　3.3 凸函數在證明積分不等式中的應用</p><p>　　例：設在上可積且，是在上的連續(xù)凸函數則</p><p><b>　　證明：令

56、</b></p><p><b>　　由于是凸函數，故有</b></p><p>　　由定積分的定義在上式中令時</p><p><b>　　則有。</b></p><p>　　3.4 凸函數在證明Jensen不等式中的應用</p><p>　　王秋亮[14]討

57、論了凸函數在證明Jensen不等式時的應用。不論導出不等式還是證明不等式，利用Jensen不等式的關鍵在于選取適當的凸函數，并且根據想要構造或證明的不等式的形式選取恰當的值。并且應用數學歸納法在用凸函數來證明Jensen不等式時，可以得到較好的效果。并且Jensen不等式在證明一些較難的不等式中都可以得到很好的應用，可以是一些不等式的證明過程變得簡潔易懂。</p><p>　　例：利用凸函數的Jensen不等式可

58、以推證三種平均不等式（，其中</p><p><b>　?。?，：，：）</b></p><p><b>　　證：對函數有</b></p><p><b>　　所以在上為凸函數</b></p><p>　　令，利用Jensen不等式有：</p><p>　

59、　所以 </p><p>　　令 ，</p><p>　　有 </p><p><b>　　又將換成，</b></p><p>　　有 </p><p>&

60、lt;b>　　綜合有：</b></p><p><b>　　即：</b></p><p>　　例：利用凸函數的Jensen不等式推證柯西不等式</p><p><b>　　對于函數有</b></p><p><b>　　令代入</b></p>&

61、lt;p>　　再由Jensen不等式得：</p><p><b>　　將代入上式中的，得</b></p><p><b>　　將換成，換成則有：</b></p><p><b>　?。睿?lt;/b></p><p><b>　　令上式變形為：</b>&

62、lt;/p><p><b>　　這就是柯西不等式。</b></p><p>　　利用Jensen不等式，柯西不等式可以證明一些比較復雜的不等式。</p><p>　　3.5凸函數在證明Hadamard不等式中的應用</p><p>　　我們所知Jensen不等式通常用來證明有限不等式，它是將無窮項求和與積分聯(lián)系起來的重要橋梁

63、。而Hadamard不等式可以對兩個正數的幾何平均數與算數平均數加細。</p><p>　　鄭寧國[15]給出了Hadamard不等式的兩種證明方法。討論了凸函數在證明Hadamard不等式時的應用。選取適當的凸函數來證明Hadamard不等式，并且根據要證明的不等式的形式選取恰當的值。</p><p>　　Hadamard不等式：設是上連續(xù)的凸函數，則有。</p><

64、p>　　此不等式即為Hadamard不等式。</p><p>　　證明：根據積分區(qū)間具有可加性，有.</p><p><b>　　因為，（其中令），</b></p><p>　　所以 </p><p>　　即有 。</p><p&g

65、t;<b>　　令，</b></p><p>　　則 </p><p><b>　　=.</b></p><p>　　即有 </p><p>　　所以Hadamard不等式成立。</p><p>　　關于凸函數的理論及

66、應用有許多專門的研究，利用凸函數的概念可以來解決不等式的證明有許多方便之處，現實中常常利用凸函數的概念來證明數學分析中的一些常見的不等式。李艷梅，李雪梅[16]給出了凸函數在分析不等式證明中的應用，利用凸函數的性質及Jensen不等式，對數學分析中諸多不等式給予證明，在解題過程中可以舉一反三，利用Jensen不等式的一些特殊情況，來得到一些常用的分析不等式。</p><p>　　關于不等式的證明有許多途徑，從以上

67、例子看到凸函數的理論在分析不等式的證明中有著非常重要的作用。</p><p><b>　　4 結論</b></p><p>　　函數凸性的應用顯著地體現在求最值、不等式的證明上[17]。不等式的證明方法很多，技巧性強，函數凸性是函數在區(qū)間上變化的整體形態(tài)，是研究不等式的重要方法之一，巧妙的構造凸函數，可以簡單輕快得證明不等式。一些常見的不等式都可以從函數的凸性中導出

68、。鄒自德[12]指出：凸函數具有較好的幾何和代數性質，由凸函數可以引導出各種平均值并對這些平均值進行比較。梁艷[13]指出：凸函數是一類非常重要的函數，在不等式的研究中，凸函數所發(fā)揮的作用是無可替代的，可以根據凸凹函數的特性，結合典型事例，來說明凸函數在處理一些有較大難度不等式證明中的應用。</p><p>　　在不等式的研究中，凸函數所發(fā)揮著很重要的作用，在數學規(guī)劃中有著廣泛的應用背景，我們可以根據凸凹函數的特

69、性，來解決一系列擁有較大難度的不等式，以及導出一些較難的不等式，通過凸函數的性質來得到比較直觀的證明，可以來導出如幾何平均值不大于算數平均值這一類比較難的不等式，說明了凸函數在處理一些有較大難度不等式證明中有著較好的作用。</p><p>　　王秋亮[14]討論了凸函數在證明Jensen不等式時的應用。不論導出不等式還是證明不等式，利用Jensen不等式的關鍵在于選取適當的凸函數，并且根據想要構造或證明的不等式的

70、形式選取恰當的值。并且應用數學歸納法在用凸函數來證明Jensen不等式時，可以得到較好的效果。鄭寧國[15]給出了Hadamard不等式的兩種證明方法。討論了凸函數在證明Hadamard不等式時的應用。選取適當的凸函數來證明Hadamard不等式，并且根據要證明的不等式的形式選取恰當的值。</p><p>　　關于凸函數的理論及應用有許多專門的研究，利用凸函數的概念可以來解決不等式的證明有許多方便之處，現實中常常

71、利用凸函數的概念來證明分析中的一些常見的不等式。李艷梅，李雪梅[16]給出了凸函數在分析不等式證明中的應用，利用凸函數的性質及Jensen不等式，對數學分析中諸多不等式給予證明，從中可舉一反三，利用Jensen不等式的一些特殊情況，可以得到一些常用的分析不等式。</p><p>　　運用了凸函數的性質及Jensen不等式[17]，可以很簡潔的來證得分析不等式。解決不等式的證明有著許多方便之處，凸函數適當的應用，使

72、證明過程更加簡潔，會使結論的得出更加的方便。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 蒲義書、陳露.凸函數概論[J].高等數學研究,2006，9（4）：34-71.</p><p>　　[2] 數學分析[M].第三版.北京: 高等教育出版社，2006：148-154.</p><p>　

73、　[3] 江芹、陳文略.嚴格凸函數的判定[J].高等函授學報,2006,19(4)：27-28.</p><p>　　[4] 古小敏.對凸函數定義之間等價性的進一步研究[J].重慶工商大學學報，2009，26（2）：171-182.</p><p>　　[5] 劉國華、陳妍、龐培林、張志海.關于凸函數的八個等價定義[J].河北建筑科技學院學報，2003，20（3）：82-83.</p

74、><p>　　[6] 李碧榮.凸函數及其性質在不等式證明中的應用[J]. 廣州師范學院報，2004，21(2)：93－95.</p><p>　　[7] 狄雷.凸函數的性質及其應用[J].理工科研，2009.:172-173.</p><p>　　[8] 王華.關于凸函數性質的總結[J].科技教育，2005，235-236.</p><p>　　

75、[9] Jonathan M.Borwein, Jon Vanderwerff. Constructions of Uniformly Convex Functions[J]. 2000 Mathematics Subject Classification, 2000, 1-10.</p><p>　　[10] 林銀河.凸函數的等價描述與Jensen不等式[J].麗水師范?？茖W校學報，2001，23（2）：8-1

76、1.</p><p>　　[11]劉鴻基、張志宏.凸函數的等價定義及其微積分性質的討論[J].商丘師范學院學報，2008，24(6）：123-125.</p><p>　　[12] 鄒自德.凸函數及應用[J].廣州廣播電視大學學報，2008，8(1):104-112.</p><p>　　[13]梁艷.凸函數的應用[J].內江師范學院學報，2010，25：90-91

77、.</p><p>　　[14]王秋亮.凸函數在不等式中的應用[J].晉城職業(yè)技術學院學報，2009，2（3）：95-96.</p><p>　　[15]鄭寧國.凸函數的Hadamard不等式的兩種證明方法[J].湖州師范學院學報，2005，27（2）：15-17.</p><p>　　[16]李艷梅、李雪梅.凸函數在分析不等式證明中的應用[J].高等職業(yè)教育天津職

78、業(yè)大學學報,2003,13(1)：33-37.</p><p>　　[17]Zhenglu jiang,Xiaoyong Fu,Hongjiong Tian. Convex Functions and Ineoualities For integrals[J]. J.Inequal.Pure and Appl.Math，2006，7(5).</p><p><b>　　文獻綜述&

79、lt;/b></p><p><b>　　函數的凸性及應用</b></p><p>　　一、前言部分（說明寫作的目的，介紹有關概念、綜述范圍，扼要說明有關主題爭論焦點）</p><p>　　凸函數是一類重要的函數。對函數凹凸性的研究，在數學分析的多個分支都有用處。特別是在函數圖形的描繪和不等式的推導方面，凸函數都有著十分重要的作用。凸函數

80、的定義，最早是由Jersen給出的。各文獻中對凸函數的定義不盡相同，在大學的數學分析或高等數學教材中，常常只研究具有二階導數的凸函數。</p><p>　　本文首先給出凸函數的定義以及對凸函數的基本性質進行總結。然后由基本性質進行延伸，進一步給出凸函數的應用。對于凸函數的應用，本文擬將主要介紹以下的幾點：凸函數在證明Jensen不等式時的應用；凸函數在Hadamard不等式中的證明的應用；凸函數在分析不等式中的應

81、用等。</p><p>　　二、主題部分（闡明有關主題的歷史背景、現狀和發(fā)展方向，以及對這些問題的評述）</p><p>　　凸函數具有一些非常優(yōu)良的性質[1]，有著較好的幾何和代數性質，在數學各個領域中都有著廣泛的應用。1905年丹麥數學家Jensen首次給出了凸函數的定義，經過近百年努力，凸函數的研究在各個方面正得到長足的發(fā)展，在現代學習和生活中的重要性已經不斷的凸顯出來。凸函數是一類

82、非常重要的函數，應用函數的凸性，不僅可以科學、準確的描述函數的圖像，而且也有證明不等式的凸函數方法，同時，凸函數也是優(yōu)化問題中重要的研究對象，它研究的內容非常豐富，研究的結果也在許多領域得到了廣泛的應用，所以研究凸函數的性質及應用就顯得尤為重要。</p><p><b>　　2.1凸函數的定義</b></p><p>　　2.1.1凸函數一些基本定義</p>

83、;<p>　　通過數學分析的學習，對于函數和的圖像，我們很容易看出它們之間的不同點：曲線上任意兩點間的弧段總在這兩點連線的下方；而曲線則相反，在任意兩點間的弧段總在這兩點連線的上方。通過這兩個函數，我們把前一種特性的曲線稱為凸的，后一種為凹的。對于凸的我們稱其函數為凸函數。</p><p>　　數學分析[2]給出了凸函數的基本定義：設為定義在區(qū)間上的函數，若對上的任意兩點，和任意實數總有,則稱為上的

84、凸函數。</p><p>　　葛麗萍[3]介紹了以下的結論：若區(qū)間上的任意三點，總存在，這個條件是為上的凸函數的充要條件，該證明在數學分析中已經詳細的給出了。同理，通過推廣，可以得出另一個更進一步的充要條件：在區(qū)間上的任意三點，有成立，則為上的凸函數。并且若為區(qū)間上的二階可導函數，則在上為凸函數的充要條件為。</p><p>　　2.1.2嚴格凸函數的定義</p><p

85、>　　江芹,陳文略[4]給出了嚴格凸函數的定義并且討論了區(qū)間上嚴格凸函數的判定方法。</p><p>　　定義：凸函數的定義為函數滿足以下不等式，其中為區(qū)間上的函數，，為上的任意兩點和。當上面的不等式變?yōu)闀r，其余條件不變，該函數稱為嚴格凸函數。</p><p>　　判定方法：1、設為區(qū)間上可導函數，在上嚴格遞增，則在區(qū)間上是嚴格凸函數。反之，不成立；2、設為區(qū)間上二階可導函數,在上.

86、則在區(qū)間上是嚴格凸函數。</p><p>　　2.1.3凸函數的等價描述</p><p>　　林銀河[5]詳細論述了凸函數的等價描述，由此得出：若在上有定義，則以下3個命題等價：</p><p><b>　　在上為凸函數；</b></p><p><b>　　，，有；</b></p>

87、<p><b>　　，且不全為零，有</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　其中命題就是著名的Jensen不等式。在Jensen不等式中令就得到如下定義：設在區(qū)間上有定義，稱為上的凸函數，當且僅當有。</p><p>　　葛麗萍[3]介紹了函數在區(qū)間上可導的等價條件：若為區(qū)間上的可導

88、函數，可得出以下等價條件。（1）為上的凸；（2）為上的增函數；（3）對上的任意兩點，，有。</p><p>　　2.2凸函數的一些性質</p><p>　　2.2.1凸函數的連續(xù)性</p><p>　　凸函數是數學分析中的一類重要函數，而函數的連續(xù)性又是函數性態(tài)的一項基本而又重要的特征。由于Jensen定義中并沒有對函數作出連續(xù)性及可導性假設，Jensen意義下凸函

89、數并不一定是連續(xù)函數，而連續(xù)函數也不一定是凸函數，從凸函數的定義出發(fā)，研究連續(xù)函數與凸函數的關系。那么我們就會提出這樣的問題：當連續(xù)函數滿足何種條件時，是區(qū)間上的凸函數；當凸函數滿足何種條件時，是區(qū)間上的連續(xù)函數；連續(xù)凸函數在區(qū)間上具有何種性質？</p><p>　　例如函數，我們容易證明在上是凸函數，但在上不連續(xù)。存在函數，可以得出函數在上是連續(xù)的，但是函數在上不是凸函數。</p><p&g

90、t;　　上面這個例題說明凸函數并不一定是連續(xù)函數，而連續(xù)函數也不一定是凸函數。</p><p>　　宋方[6]提出，如果連續(xù)函數為凸函數，必定滿足以下定義：對任意的及，恒有：。</p><p>　　例：證明連續(xù)函數是一個凸函數。</p><p>　　分析：因為，只要存在就能說明函數是一個凸函數。顯然能夠找到滿足條件的</p><p>　　性質

91、[7]：若在區(qū)間上連續(xù)，且滿足</p><p><b>　　或 </b></p><p>　　其中，則是上的凸函數。</p><p>　　2.2.2凸函數的微積分性質</p><p>　　劉鴻基，張志宏[8]指出凸函數是一類重要的函數，有著較好的分析性質，而關于凸函數，一般教材大都從幾何意義方面引出定義，描述為：凸

92、曲線弧段上任意兩點聯(lián)結而成的弦，總是位于曲線弧段的下方；或者，當曲線各點處存在切線時，凸曲線弧全部位于曲線上各點處切線的下方。前者往往作為定義使用，后者是凸函數的充分必要條件，也可以作為定義作用。劉鴻基，張志宏[8]舉證了凸函數的4個等價性定義，并對凸函數的微積分性質予以討論，得到兩個重要的微積分性質：</p><p>　　1.設在區(qū)間內可導，則在上是凸函數的充分必要條件是：對任意點，恒有。</p>

93、<p>　　2.設是上的凸函數，則</p><p>　　性質2分析：因為是閉區(qū)間上的凸函數，因而是連續(xù)的，也是可積的。</p><p><b>　　當時，，</b></p><p><b>　　因此有。</b></p><p><b>　　根據定義，可得</b>&l

94、t;/p><p><b>　　即。</b></p><p>　　根據定積分性質對于，</p><p><b>　　令則</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　再者，若令，則，于是</p><p>　　綜

95、上所述，結論成立。</p><p>　　2.2.3關于凸函數性質的總結</p><p>　　王華[9]提出常見的凸函數定義有八個，此處就其中幾個定義間的關系、幾何意義作進一步思考，來得出有關凸函數的性質。</p><p>　　根據文中所闡述和定義的，歸納出以下性質：</p><p>　　1．當在上一階可導，在凸 。由于是過點的曲線的切線，不

96、等式的幾何意義是：上凸曲線總在曲線上任一點的切線之上。</p><p>　　2．在上二階可導，在凸。</p><p>　　3．若在上可導，則下述兩個不等式等價（1）；（2）。</p><p>　　4．若在凸，則下述兩個不等式等價（1）有；（2）有。</p><p>　　5．若在凸，則（1），有，都存在，且；（2）在連續(xù)。</p>

97、<p>　　例：證明上（下）凸函數都是連續(xù)的。</p><p>　　針對性質5分析：，取，據定義得式（﹡）又據其幾何意義，函數是單調函數，故當時單調有上界；時單調有下界，于是極限及存在，而這兩個極限即及，故對式（*）取極限，即可得。</p><p><b>　　同時可知</b></p><p>　　即。故在的內點連續(xù)，即在上連續(xù)是在

98、上（下）凸的必要條件。</p><p>　　2.3凸函數的一些應用</p><p>　　2.3.1凸函數的應用概述</p><p>　　凸函數的應用領域非常廣泛，特別是在不等式的證明中，函數凸性的應用顯著地體現在求最值、不等式的證明上。利用凸函數的性質證明有關不等式，可以使難度較大且證明過程復雜的問題轉化為證明比較容易，證明過程簡單的問題，關鍵是尋找合適的凸函數，若

99、不能直接找出，則可以對不等式進行適當的變形，從而達到證明不等式的目的。凸函數在數學規(guī)劃中有著廣泛的應用背景,一些常見的不等式都可以從函數的凸性中導出。鄒自德[10]指出：凸函數具有較好的幾何和代數性質，由凸函數可以引導出各種平均值并對這些平均值進行比較。</p><p>　　例：幾何平均值不大于算數平均值（利用凸函數導出常用的不等式）</p><p>　　分析：設，考慮指數函數，是凸函數，

100、從而對</p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　成立。</b></p><p><b>　　令，則得到</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　這就是人們熟知的“幾何平均值不大

101、于算數平均值”定理。</p><p>　　梁艷[11]指出：凸函數是一類非常重要的函數，在不等式的研究中，凸函數所發(fā)揮的作用是無可替代的，可以根據凸凹函數的特性，結合典型事例，來說明凸函數在處理一些有較大難度不等式證明中的應用。</p><p>　　例：證明下列不等式：</p><p><b>　　對任意實數有.</b></p>

102、<p>　　分析：（1）設，由于，而，故是上的凸函數，由定義可知，有，即.</p><p>　　小結：在不等式的研究中，凸函數所發(fā)揮著很重要的作用，在數學規(guī)劃中有著廣泛的應用背景，我們可以根據凸凹函數的特性，來解決一系列擁有較大難度的不等式，以及導出一些較難的不等式，如上面所給出的指數不等式，三角函數不等式都能通過凸函數的性質來得到比較直觀的證明，可以來導出如幾何平均值不大于算數平均值這一類比較難的不等

103、式，說明了凸函數在處理一些有較大難度不等式證明中有著較好的應用。</p><p>　　2.3.2凸函數在證明Jensen不等式時的應用</p><p>　　王秋亮[12]討論了凸函數在證明Jensen不等式時的應用。不論導出不等式還是證明不等式，利用Jensen不等式的關鍵在于選取適當的凸函數，并且根據想要構造或證明的不等式的形式選取恰當的值。并且應用數學歸納法在用凸函數來證明Jensen

104、不等式時，可以得到較好的效果。</p><p>　　定理1（Jensen不等式）：若設區(qū)間上有定義，則以下兩條件等價：</p><p>　　1. 在上為凸函數；</p><p>　　2. ，有 （*）</p><p>　　分析：21只要令即得。</p><p>　　12應用數學歸納法。當時，可得函數為凸函數。

105、設時命題成立，即有，現設，及令，，。由數學歸納法假設可推得</p><p><b>　　=.</b></p><p>　　這就證明了對任何正整數，凸函數總有不等式（*）成立。</p><p>　　2.3.3凸函數在證明Hadamard不等式時的應用</p><p>　　鄭寧國[13]給出了Hadamard不等式的兩種證明

106、方法。討論了凸函數在證明Hadamard不等式時的應用。選取適當的凸函數來證明Hadamard不等式，并且根據要證明的不等式的形式選取恰當的值。</p><p>　　Hadamard不等式：設是上連續(xù)的凸函數，則有.</p><p>　　分析：根據積分區(qū)間具有可加性，有.</p><p><b>　　因為（其中令），</b></p>

107、<p><b>　　所以</b></p><p><b>　　即有。令，</b></p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　=.</b></p><p><b>　　即有</b></p&

108、gt;<p>　　所以Hadamard不等式成立。</p><p>　　2.3.4凸函數在分析不等式中的應用</p><p>　　關于凸函數的理論及應用有許多專門的研究，利用凸函數的概念可以來解決不等式的證明有許多方便之處，現實中常常利用凸函數的概念來證明分析中的一些常見的不等式。李艷梅，李雪梅[14]給出了凸函數在分析不等式證明中的應用，利用凸函數的性質及Jensen不等式

109、，對數學分析中諸多不等式給予證明，從中可舉一反三，利用Jensen不等式的一些特殊情況，可以得到一些常用的分析不等式。</p><p><b>　　例：.</b></p><p><b>　　分析：假設函數，</b></p><p><b>　　有，</b></p><p>　

110、　由Jensen不等式取有于是</p><p><b>　　有</b></p><p>　　小結：此處運用了凸函數的性質及Jensen不等式，可以很簡潔的證得該分析不等式。解決不等式的證明有著許多方便之處，凸函數適當的應用，使證明過程更加簡潔，結論得出更加的方便。</p><p>　　三、總結部分（將全文主題進行扼要總結，提出自己的見解并對進一

111、步的發(fā)展方向做出預測）</p><p>　　凸函數具有一些非常優(yōu)良的性質,有著較好的幾何和代數性質，在數學各個領域中都有著廣泛的應用[15]。凸函數是一類非常重要的函數，應用函數的凸性，不僅可以科學、準確的描述函數的圖像，而且也有證明不等式的凸函數方法，同時，凸函數也是優(yōu)化問題中重要的研究對象，它研究的內容非常豐富，研究的結果也在許多領域得到了廣泛的應用。</p><p>　　本文首先對凸

112、函數定義進行介紹，凸函數的等價性質進行了概述；接下來介紹了凸函數的基本性質，然后由此延伸，進一步提出凸函數的應用，主要集中在下面幾方面的應用：凸函數在Hadamard不等式證明中的應用，凸函數在證明Jensen不等式時的應用，凸函數在分析不等式中的應用等方面進行了討論。</p><p>　　四、參考文獻（根據文中參閱和引用的先后次序按序編排）</p><p>　　[1] 蒲義書、陳露.凸函

113、數概論[J].高等數學研究,2006，9（4）：34-71.</p><p>　　[2] 數學分析[M].第三版.北京: 高等教育出版社，2006：148-154.</p><p>　　[3] 葛麗萍. 關于凸函數的幾個充分必要條件[J].文化教育，2010，(5)：193-193.</p><p>　　[4] 江芹、陳文略.嚴格凸函數的判定[J].高等函授學報,2

114、006,19(4)：27-28.</p><p>　　[5] 林銀河.凸函數的等價描述與Jensen不等式[J].麗水師范?？茖W校學報，2001，23（2）：8-11.</p><p>　　[6] 宋方.關于凸函數的定義和性質[J]. 數學的實踐與認識，2007，27(8)：189－194.</p><p>　　[7] Jonathan M.Borwein, Jon

115、 Vanderwerff. Constructions of Uniformly Convex Functions[J]. 2000 Mathematics Subject Classification, 2000, 1-10.</p><p>　　[8]劉鴻基、張志宏.凸函數的等價定義及其微積分性質的討論[J].商丘師范學院學報，2008，24(6）：123-125.</p><p>　

116、　[9] 王華.關于凸函數性質的總結[J].科技教育，2005，235-236.</p><p>　　[10] 鄒自德.凸函數及應用[J].廣州廣播電視大學學報，2008，8(1):104-112.</p><p>　　[11]梁艷.凸函數的應用[J].內江師范學院學報，2010，25：90-91.</p><p>　　[12]王秋亮.凸函數在不等式中的應用[J].

117、晉城職業(yè)技術學院學報，2009，2（3）：95-96.</p><p>　　[13]鄭寧國.凸函數的Hadamard不等式的兩種證明方法[J].湖州師范學院學報，2005，27（2）：15-17.</p><p>　　[14]李艷梅、李雪梅.凸函數在分析不等式證明中的應用[J].高等職業(yè)教育天津職業(yè)大學學報,2003,13(1)：33-37.</p><p>　　[

118、15]Zhenglu jiang,Xiaoyong Fu,Hongjiong Tian. Convex Functions and Ineoualities For integrals[J]. J.Inequal.Pure and Appl.Math，2006，7(5).</p><p><b>　　開題報告</b></p><p>　　函數的凸性及應用

119、 </p><p>　　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國內外研究現狀和發(fā)展趨勢）</p><p>　　凸函數具有一些非常優(yōu)良的性質[1], 有著較好的幾何和代數性質，在數學各個領域中都有著廣泛的應用。1905年丹麥數學家Jensen首次給出了凸函數的定義，開創(chuàng)了凸函數研究的先河，經過近百年努力，凸函數的研究在各個方面正得到長足的發(fā)展，其中，凸函數的判據研究已接近完

120、善，在現代學習和生活中的重要性已經不斷的凸顯出來。凸分析是近年來凹凸函數發(fā)展起來的一門應用十分廣泛的數學支，尤其是在最優(yōu)化理論方面的應用更為突出，人們對凸分析的自身理論發(fā)展也進行了廣泛的深入研究，使得凸函數的性質也得到了較好的發(fā)展。在凸規(guī)劃理論、尤其是非線性最優(yōu)化中，函數的凸性分析是最基本的，又是最重要的，近年來，研究函數各種凸性的文獻越來越多。</p><p>　　凸函數是一類重要的函數。對函數凹凸性的研究，在