1、第8章 采樣控制系統(tǒng)的分析與設計,8-1 引言8-2 信號的采樣與復現8-3 Z變換與Z反變換8-4 脈沖傳遞函數8-5 采樣系統(tǒng)的分析8-6 最少拍采樣系統(tǒng)的校正,,8-1 引言,前面各章分析了連續(xù)控制系統(tǒng)，這些系統(tǒng)中的變量是時間上連續(xù)的；隨著被控系統(tǒng)復雜性的提高，對控制器的要求也越來越高，控制的成本隨著數學模型的復雜化而急劇上升—模擬實現；隨著數字元件,特別是數字計算機技術的迅速發(fā)展，采樣控制系統(tǒng)得到了廣泛的應用；

2、在采樣控制系統(tǒng)中,有一處或多處的信號不是連續(xù)信號,而在時間上是離散的脈沖序列或數碼,這種信號稱為采樣信號。,,,典型的采樣系統(tǒng),計算機直接數字控制系統(tǒng),上面控制系統(tǒng)框圖實際控制系統(tǒng)中是不存在采樣開關的。,計算機控制系統(tǒng)的優(yōu)點：1、有利于實現系統(tǒng)的高精度控制；2、數字信號傳輸有利于抗干擾；3、可以完成復雜的控制算法，而且參數修 改容易；4、除了采用計算機進行控制外，還可以進行顯示，報警等其它功能；

3、5、易于實現遠程或網絡控制。,采樣控制系統(tǒng)也是一類動態(tài)系統(tǒng)；該系統(tǒng)的性能也和連續(xù)系統(tǒng)一樣可以分為動態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩部分；這類系統(tǒng)的分析也可以借鑒連續(xù)系統(tǒng)中的一些方法，但要注意其本身的特殊性；采樣系統(tǒng)的分析可以采用Z變換方法，也可以采用狀態(tài)空間分析方法。,8-2 信號的采樣與復現,1、采樣：把連續(xù)信號變成脈沖或數字序列的過程叫做采樣；2、采樣器：實現采樣的裝置，又名采樣開關；3、復現：將采樣后的采樣信號恢復為原來的連續(xù)信號的過程；

4、4、采樣方式： （1）等周期采樣： （2）多階采樣：采樣是周期性重復的 （3）多速采樣：有兩個以上不同采樣周期的采樣開關對信號同時進行采樣 （4）隨機采樣：采樣是隨機進行的,沒有固定的規(guī)律,一個連續(xù)信號經采樣開關變成了采樣信號采樣脈沖的持續(xù)時間遠小于采樣周期T和系統(tǒng)的時間常數可以將窄脈沖看成是理想脈沖，從而可得采樣后 的采樣信號為,1、信號的采樣過程,,是理想脈沖出現的時刻因此采樣信號只在脈沖出現的瞬間

5、才有數值，于是采樣信號變?yōu)?因此采樣過程可以看作一個調制過程。,采樣信號的調制過程,考慮到 時，因此，可以將原來采樣信號表達式變?yōu)槿缦滦问剑?將窄脈沖看作理想脈沖的條件是采樣持續(xù)時間遠遠小于采樣周期和被控對象的時間常數,2、采樣定理,由前面的分析可知，采樣窄脈沖為周期性的，采樣后的信號 取該信號的拉氏變換,并令 :,說明采樣后信號頻譜是以?s為周期的。,采樣時間滿足什么條件？才能復現原

6、信號！,連續(xù)信號在時域上是連續(xù)的，但頻域中的頻譜是孤立的；連續(xù)信號采樣之后，具有以采樣角頻率 為周期的無限多個頻譜。,采樣信號的頻譜,采樣定理：為使采樣后的脈沖序列頻譜互不搭接，采樣頻率必須大于或等于原連續(xù)信號所含的最高頻率的兩倍，這樣方可通過適當的理想濾波器把原信號毫無畸變的復現出來。 香農定理的物理意義是：滿足香農定理的采樣信號中含有連續(xù)信號的信息，該信息可以通過具有低通濾波特性的濾波器復現出來。,3、零階保持器

7、,保持器是采樣系統(tǒng)的一個基本單元，功能是將采樣信號恢復成連續(xù)信號。理想濾波器可以將采樣信號恢復成連續(xù)信號；理想濾波器是物理上不可實現的，因此要尋找一種物理上可實現，特性上又接近于理想濾波器的設備——保持器。采樣信號只在采樣點上有定義, e*(KT)和e*((K+1)T)都是有定義的,但是在這兩者之間的時間段上連續(xù)信號應該是什么樣子呢?這就是保持器要解決的問題.,保持器是一種時域外推裝置，即將過去時刻或現在時刻的采樣值進行外推。

8、通常把按照常數、線性函數和拋物線函數外推的保持器稱為零階、一階和二階保持器。如果取則當前時刻的采樣值將被保持到下一個采樣時刻. 這種保持器稱為零階保持器. 如何用數學語言描述這種特性呢?,零階保持器:把采樣時刻KT的采樣值不增不減地保持到下一個采樣時刻（K＋1）T。,,零階保持器的輸入和輸出信號,由于在采樣時刻,,,故保持器的輸出,拉氏變換為,零階保持器的傳遞函數為,,,零階保持器的傳遞函數為,,零階保持器的頻率特性為,,零

9、階保持器的頻率特性如圖所示零階除了允許主頻譜分量通過之外，還允許一部分附加高頻分量通過。因此復現出的信號與原信號是有差別的。,,4、小結,采樣控制系統(tǒng)的結構；計算機控制的采樣系統(tǒng)的優(yōu)點；采樣過程和采樣定理；零階保持器的傳函和特性。,8-3 Z變換與反變換,線性連續(xù)控制系統(tǒng)可用線性微分方程來描述，用拉普拉斯變換分析它的暫態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。對于線性采樣控制系統(tǒng)則可用線性差分方程來描述，用Z變換來分析它的暫態(tài)性能及穩(wěn)

10、態(tài)性能。Z變換是研究采樣系統(tǒng)主要的數學工具，由拉普拉斯變換引導出來，是采樣信號的拉普拉斯變換。,連續(xù)信號f（t）的拉普拉斯變換為連續(xù)信號f（t）經過采樣得到采樣信號f*（t）為其拉普拉斯變換為定義新的變量,采樣信號的Z變換,有,1、常用的Z變換方法,級數求和法：將采樣信號f *（t）展開如下對上式逐項進行拉普拉斯變換，得在一定條件下，常用函數的Z變換都能夠寫成閉合形式。,【例1】求單位階躍函數1（t

11、）的Z變換。 解： 單位階躍函數的采樣脈沖序列為,代入E(z)的級數表達式，得,對上列級數求和，寫成閉合形式，得,部分分式法,當連續(xù)信號是以拉普拉斯變換式F（S）的形式給出,且F（S）為有理函數時,可以展開成部分分式的形式，即,可得與其對應的z變換為,由此可得F（S）的z變換為,對應的時域表達式,【例2】已知,，試求其Z變換.,解 將G（s）展開成部分分式,其對應的時域表示式為,兩個時域信號的疊加,,留數法,設連續(xù)信號f(t)

12、的拉普拉斯變換式F（S）及其全部極點pi為已知，可利用留數法求其Z變換F(z)，即,當s=pi為一階極點時，其留數為,當s=pj為q階極點時，其留數為,【例】求f（t）=t的z變換 [ t?0 ],在s=0處有二階極點，f(t)的z變換F(z)為,解：由于,2、Z變換基本定理,1.線性定理,若?i為常數，則,線性定理表明,時域函數線性組合的z變換等于各時域函數z變換的線性組合。,設有連續(xù)時間函數,2.滯后定理,,,設e(t)的z變換

13、為E（z），且t＜0時，e(t)=0,則,滯后定理說明，原函數在時域中延遲k個采樣周期求z變換,相當于它的z變換乘以z-k。因此 z-k可以表示時域中的滯后環(huán)節(jié),它把采樣信號延遲k個采樣周期,3. 超前定理,4. 初值定理,設函數e(t)的z變換為E(z)，則,5. 終值定理,6 .復數位移定理,,,設函數e(t)的z變換為E(z)，則,3、Z反變換,,由E(z)求e*(t)過程稱為z反變換，表示為,由于z變換只表征連續(xù)函數在采樣時刻

14、的特性,并不反映采樣時刻之間的特性,因此z反變換只能求出采樣函數e*(t),不能求出其連續(xù)函數e(t)。即有,常用的Z反變換方法,1、長除法,將E(z)的分子、分母多項式按z的降冪形式排列,用分子多項式除以分母多項式,可得到E(z)關于z-1的無窮級數形式,在根據延遲定理得到e*(t)。,,,對上式求z反變換,得,2、部分分式法,將E(z)/z展開成部分分式。由于在E(z)式中,分子表達式中通常含有z。得到部分分式后,再將z乘到各

15、部分分式的分子部分,再查表進行反變換即可,所以也稱為查表法。,【例3】求,的z反變換。,解 將E (z)/z展開成部分分式為,則對應的時間函數e*(t)為,,,則有,,,,3. 留數法,由z變換的定義有,用zm-1乘上式兩端,得,根據復變函數理論,知,當z=pi為單極點時，其留數為,當z=pj為n重極點時，其留數為,4 差分方程,描述n階線性連續(xù)系統(tǒng)的數學模型為微分方程，而描述線性采樣系統(tǒng)的教學模型為差分方程。差分的定義：

16、一階前向差分定義為二階前向差分定義為,一階后向差分定義為：二階后向差分定義為：,前向和后向差分示意圖,【例】 一階采樣系統(tǒng)的差分方程為,解:對方程兩邊進行在z變換，并由實移定理,其中b為常數,,,,,因為,,所以,,,8-4 脈沖傳遞函數,一、脈沖傳遞函數的基本概念,線性采樣系統(tǒng)初始條件為零時,系統(tǒng)輸出信號的z變換與輸入信號的z變換之比,稱為線性采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數,或簡稱為z傳遞函數。,實際采樣系統(tǒng)的輸出信號通常是連續(xù)信號,

17、為了應用脈沖傳遞函數概念,可在系統(tǒng)的輸出端虛設一個同步采樣開關,使輸出成為采樣信號。,,,實際采樣系統(tǒng),設輸入脈沖序列為,,由疊加原理可求出系統(tǒng)對脈沖序列的響應為,,根據z變換的卷積定理，上式的z變換為,式中：G(z)、R(z)、Y(z)分別為g(t)、r(t)、y(t)的z變換。,即采樣系統(tǒng)脈沖傳遞函數為,采樣脈沖傳函為連續(xù)系統(tǒng)的脈沖響應的Z變換,,脈沖傳遞函數和連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數一樣表征了采樣系統(tǒng)的固有特性；它除了與系統(tǒng)的結構、參

18、數有關系，還與采樣開關在系統(tǒng)中的具體位置有關。,1、兩個環(huán)節(jié)有采樣開關時根據脈沖傳遞函數的定義：,,當環(huán)節(jié)之間有采樣開關時，等效脈沖傳遞函數為各串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數之積。該結論也可推廣到n個環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況,二、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳函,2、兩個環(huán)節(jié)沒有采樣開關時,當串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關時,系統(tǒng)脈沖傳遞函數為各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數乘積的z變換。該結論可推廣到相互間無采樣開關的n個環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。,,3、有零階保持器時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函

19、數,,,,有零階保持器時的開環(huán)采樣系統(tǒng),三、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數,,,,,,,,閉環(huán)系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數,閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數為,系統(tǒng)輸出,,,,,當系統(tǒng)有擾動作用時 ,可得閉環(huán)系統(tǒng)的誤差與擾動間的脈沖傳遞函數為,,系統(tǒng)輸出與擾動之間的脈沖傳遞函數,,由于系統(tǒng)中有采樣器的存在，所以一般情況下,,例 設閉環(huán)采樣系統(tǒng)結構圖如圖所示，試證其閉環(huán)脈沖傳遞函數為,,,,,,,,,,閉環(huán)采樣系統(tǒng)結構圖,對于有些采樣控制系統(tǒng)，無法寫出閉環(huán)脈

20、沖傳遞函數只能寫出輸出的Z變換,,,8-5 采樣系統(tǒng)的分析,穩(wěn)定性分析閉環(huán)極點分布與瞬態(tài)響應的關系穩(wěn)態(tài)誤差分析,1、采樣穩(wěn)定性分析,1）穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性是指在擾動的作用下，系統(tǒng)會偏離原來的平衡位置，在擾動撤除后，系統(tǒng)恢復到原來平衡狀態(tài)的能力；根據穩(wěn)定性的定義，可以采用脈沖響應的情況來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性；系統(tǒng)的脈沖響應如果能夠衰減到0，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,采樣系統(tǒng)的脈沖響應：由Z反變換得由上式

21、可若 ，即系統(tǒng)的所有極點位于Z平面的單位圓內，則,2）穩(wěn)定條件：,,采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：,系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數的所有極點位于Z平面上的單位圓內?；蛘哒f，所有極點的模都小于1,即 ，單位圓就是穩(wěn)定區(qū)域的邊界。,S平面的左半平面 ，z的幅值在0和1之間變化，對應z平面單位圓內；S平面的虛軸 ，對應z平面的單位圓；當 由 變到 時，,3）

22、s平面與z平面的映射關系,線性采樣系統(tǒng)不能直接使用勞斯穩(wěn)定判據，因為采樣系統(tǒng)穩(wěn)定邊界是z平面上以原點為圓心的單位圓周，而不是虛軸。為能使用勞斯判據，可將z平面上單位圓周映射到新坐標系中的虛軸，這種變換稱為w變換，或稱雙線性變換。,4）線性采樣系統(tǒng)勞斯判據,式中，z、w均為復變量，可分別寫為,代入雙線性變換公式，得,w平面虛軸上的點對應于上式中實部為零的點，即,則,設,,,z平面上單位圓內(x2+y2＜1)對應著w平面實部為負數的左半平

23、面。z平面上單位圓外(x2+y2＞1)對應著w平面實部為正數的右半平面。z平面與w平面的映射關系所示。,,【例】設采樣控制系統(tǒng)的方框圖如圖所示。,采樣周期T=1s, T=0.5s,試求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。,解 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數為,,,相應的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為,,將T=1s代入上式，得,進行w變換可求得w域系統(tǒng)的特征方程為,,,根據代數判據，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件為,,所以穩(wěn)定時K的取值為,,同理可得T=1s時,,,,穩(wěn)定時K的取

24、值為,,穩(wěn)定時K的取值為,同理可得,T=0.5s時,開環(huán)增益K和采樣周期T對采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性有如下影響：(1)采樣周期T一定時，增加開環(huán)增益K會使采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2)開環(huán)增益K一定時, 采樣周期T越長，丟失的信息越多，對采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性及動態(tài)性能均不利，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。,2、閉環(huán)脈沖傳遞函數零、極點分布與暫態(tài)響應的一般關系,1）系統(tǒng)的單位階躍響應,,設閉環(huán)采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數為,當輸入為單位階躍信號時,系統(tǒng)輸

25、出信號的z變換為,,,,將上式展成部分分式可得,式中：,對上式進行z反變換，得采樣系統(tǒng)輸出采樣信號為,上式右邊第一項為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應分量，第二項為暫態(tài)響應分量。,,顯然,隨極點在平面位置的不同，它所對應的暫態(tài)分量也不同。,實數極點：若實數極點分布在單位圓內，其對應的分量呈衰減變化。正實數極點對應的單調衰減，負實數極點對應的振蕩衰減；共軛極點：,,暫態(tài)響應與極點位置關系,1)當閉環(huán)脈沖傳遞函數的極點位于z平面上以原點為圓心的單位圓內時

26、,其對應的暫態(tài)分量是衰減的。2)要使控制系統(tǒng)具有比較滿意的暫態(tài)響應,其閉環(huán)極點應盡量避免分布在Z平面單位圓內的左半部,最好分布在單位圓內的右半部。3)極點盡量靠近坐標原點,相應的暫態(tài)分量衰減速度較快。4)離單位圓周最近且附近無閉環(huán)零點的共軛復數極點為主導極點。,3、采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,與連續(xù)系統(tǒng)類似地求穩(wěn)態(tài)誤差有兩種方法： 1)應用z變換終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差的終值； 2)應用誤差脈沖傳遞函數計算靜態(tài)誤差系數,進而得到穩(wěn)態(tài)誤

27、差。,誤差脈沖傳遞函數為,,,閉環(huán)采樣控制系統(tǒng),由z變換終值定理得穩(wěn)態(tài)誤差為,與連續(xù)系統(tǒng)類似,開環(huán)脈沖傳遞函數的一般形式為,?=0稱為0型系統(tǒng)；?=1稱為I型系統(tǒng)；……?=n稱為n型系統(tǒng)。,定義為靜態(tài)位置誤差系數對于0型系統(tǒng) 為一常量，穩(wěn)態(tài)誤差為對于Ⅰ型及以上系統(tǒng),1）單位階躍輸入：,定義靜態(tài)速度誤差系數對于0型系統(tǒng) ，穩(wěn)態(tài)誤差為對于Ⅰ型 為常值 , 也為常值對于Ⅱ型及以上系統(tǒng),,2）單位

28、斜坡輸入：,定義靜態(tài)加速度誤差系數對于0型和Ⅰ型系統(tǒng) ，穩(wěn)態(tài)誤差為對于Ⅱ型 為常值, 也為常值,,,3）單位加速度輸入：,采樣系統(tǒng)誤差除了與系統(tǒng)的結構、參數和輸入信號有關外，還與采樣周期有關，縮小采樣周期可以減小穩(wěn)態(tài)誤差。,,,,,,,,,,,,,,,例 采樣系統(tǒng)結構圖如圖所示，設T=0.2s，輸入信號為求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,,解： 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數為,,,,,,,,,,解： 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數為,

29、,T=0.2s時,,系統(tǒng)特征方程為,,所以系統(tǒng)穩(wěn)定,所以采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為,,,,,,,,,,,,,,,關于采樣時刻之間的波紋引起的誤差,,,由于采樣，系統(tǒng)中增加了高頻分量，造成了采樣間隔的紋波如圖所示。它們同樣影響到采樣點的穩(wěn)態(tài)誤差，所以在用上述方法求誤差時，嚴格說還應將它們也考慮進去。分析紋波須應用修正z變換法。,采樣時刻間的紋波,8-6 最少拍采樣系統(tǒng)的校正,在采樣系統(tǒng)中通常將一個采樣周期稱之為一拍，若在典型輸入信號作用下，經過

30、最少采樣周期，系統(tǒng)的采樣誤差信號減小為零實現完全跟蹤，則稱之為最少拍系統(tǒng)。,,具有數字控制器的采樣控制系統(tǒng),閉環(huán)脈沖傳遞函數,,誤差脈沖傳遞函數為,,求出數字控制器的脈沖傳遞函數為,或,最小拍系統(tǒng)的設計是針對典型輸入作用進行的.典型輸入信號的z變換可以表示為如下一般形式,,所以有,,根據終值定理，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,,,,根據終值定理，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,,要使系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差,,,可取,可得最小拍系統(tǒng)的,,,閉環(huán)脈沖傳遞函數,閉環(huán)

31、誤差脈沖傳遞函數,（1）單位階躍輸入,,可見，最小拍系統(tǒng)經過一拍便可以完全跟蹤輸入信號,這樣的采樣系統(tǒng)稱為一拍系統(tǒng)，調節(jié)時間為,最小拍系統(tǒng)階躍響應序列,（2）單位斜坡輸入,,可見，最小拍系統(tǒng)經過二拍便可以完全跟蹤輸入信號,這樣的采樣系統(tǒng)稱為二拍系統(tǒng)，調節(jié)時間為,最小拍系統(tǒng)斜坡響應序列,（3）單位加速度輸入,,,,,可見，最小拍系統(tǒng)經過三拍便可以完全跟蹤單位加速度輸入信號。,這樣的采樣系統(tǒng)稱為三拍系統(tǒng)，調節(jié)時間為,最小拍系統(tǒng)單位加速

32、度響應序列,例 采樣控制系統(tǒng)如圖所示，,其中連續(xù)部分的傳遞函數為,,已知T=0.5s，試求在單位斜坡輸入下，最小拍系統(tǒng)數字控制器的脈沖傳遞函數.,解：由圖可知,,,所以最小拍系統(tǒng)數字控制器的脈沖傳遞函數,,單位斜坡響應,暫態(tài)過程只要兩個采樣周期即可結束!,,則系統(tǒng)的輸出信號的z變換為,,將上述系統(tǒng)的輸入信號改為單位階躍信號,,此時動態(tài)過程也可在兩個采樣周期內結束，但在t=T時超調量為100%。,,,,,,單位階躍響應,,,,,根據一種

33、典型信號進行校正設計的最小拍采樣系統(tǒng)，往往不能很好地適應其它形式的輸入信號，這使最小拍系統(tǒng)的應用受到很大的局限； 其次，上述校正方法只能保證在采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零，而在采樣點之間系統(tǒng)的輸出可能會出現紋波，因此把這種系統(tǒng)稱為有紋波系統(tǒng)。 紋波的存在不僅影響系統(tǒng)的精度，而且會增加系統(tǒng)的機械磨損和功耗，這是我們不希望的。 適當的增加暫態(tài)時間(拍數)，可以實現無紋波輸出的采樣系統(tǒng)。,本章小結,采樣系統(tǒng)是系統(tǒng)中一處