1、,幾何學的變革,第九章,,,,什么叫幾何？,幾何，就是研究空間結構及性質的一門學科。它是數(shù)學中最基本的研究內容之一，與分析、代數(shù)等等具有同樣重要的地位，并且關系極為密切。,,,幾何學發(fā)展,幾何學發(fā)展歷史悠長，內容豐富。它和代數(shù)、分析、數(shù)論等等關系極其密切。幾何思想是數(shù)學中最重要的一類思想。目前的數(shù)學各分支發(fā)展都有幾何化趨向，即用幾何觀點及思想方法去探討各數(shù)學理論。,9.1 歐幾里得平行公設,直到18世紀末，幾何領域仍然是歐幾里得一

2、統(tǒng)天下．解析幾何改變了幾何研究的方法，但沒有從實質上改變歐氏幾何本身的內容． 解析方法的運用雖然在相當長的時間內沖淡了人們對綜合幾何的興趣，但歐幾里得幾何作為數(shù)學嚴格性的典范始終保持著神圣的地位．,,然而，這個近乎科學“圣經(jīng)”的歐幾里得幾何并非無懈可擊．事實上，公元前3世紀到18世紀末，數(shù)學家們雖然一直堅信歐氏幾何的完美與正確，但有一件事卻始終讓他們耿耿于懷，這就是歐幾里得第五公設，也稱平行公設． 在

3、歐氏幾何的所有公設中，唯獨這條公設顯得比較特殊．它的敘述不像其他公設那樣簡潔、明了，當時就有人懷疑它不像是一個公設而更像是一個定理，并產(chǎn)生了從其他公設和定理推出這條公設的想法．,下面回顧一下“歐氏幾何公理、公設”:,歐氏幾何公理：,,（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量減等量，差相等；（4）彼此重合的圖形是全等的；（5）整體大于部分。,歐氏幾何公設：,（1）假定從任意一點到任意一點可作一直線；（2）

4、一條有限直線可不斷延長；（3）以任意中心和半徑可以畫圓；（4）凡直角部彼此相等；（5）若一直線落在兩直線上所構成的同旁內角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們將在同旁內角和小于兩直角的一側相交。,,,第五公設,第五公設：若一直線落在兩直線上，所構成的同旁內角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們將在同旁內角和小于兩直角的一側相交。,因此，從古希臘時代開始，數(shù)學家們就一直沒有放棄消除對第五公設疑問的努力．他們或者尋求以一個比較

5、容易接受、更加自然的等價公設來代替它，或者試圖把它當作一條定理由其他公設、公理推導出來．在眾多的替代公設中，今天最常用的是：,“過已知直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行”．,—般將這個替代公設歸功于蘇格蘭數(shù)學家、物理學家普萊菲爾(J.Playfair，1748—1819)，所以有時也叫普萊菲爾公設．,歷史上第一個嘗試證明第五公設的是古希臘天文學家托勒玫(Ptolemy，約公元150)作出的，后來普羅克魯斯指出托勒玫的“證明”

6、無意中假定了過直線外一點只能作一條直線平行于該直線，這就是上面提到的普萊菲爾公設．,文藝復興時期對希臘學術興趣的恢復使歐洲數(shù)學家重新關注起第五公設．在17世紀研究過第五公設的數(shù)學家有沃利斯等．但每一種“證明”要么隱含了另一個與第五公設等價的假定，要么存在著其他形式的推理錯誤．而且，這類工作中的大多數(shù)對數(shù)學思想的進展沒有多大現(xiàn)實意義． 因此，在18世紀中葉，達朗貝爾曾把平行公設的證明問題稱為“幾何原理中的家丑”．但就在這一時期

7、前后，對第五公設的研究開始出現(xiàn)有意義的進展．在這方面的代表人物是意大利數(shù)學家薩凱里、德國數(shù)學家克呂格爾和瑞士數(shù)學家蘭伯特．,薩凱里（意大利）最先使用歸謬法來證明平行公設．他在一本名叫《歐幾里得無懈可擊》(1733)的書中，從著名的“薩凱里四邊形”出發(fā)來證明平行公設．,薩凱里四邊形是一個等腰雙直角四邊形，其中 ∠ =∠ ，且為直角 。薩凱里需要證明∠C=∠D且為直角。,,薩凱里指出：不用平行公設

8、容易證明∠C=∠D，并且頂角具有三種可能性并分別將它們命名為,1．直角假設：∠C和∠D是直角； 2．鈍角假設：∠C和∠D是鈍角； 3．銳角假設：∠C和∠D是銳角．,可以證明，直角假設與第五公設等價．薩凱里的計劃是證明后兩個假設可以導致矛盾，根據(jù)歸謬法就只剩下第一個假設成立，這樣就證明了第五公設．,薩凱里在假定直線為無限長的情況下，首先由鈍角假設推出了矛盾，然后考慮銳角假設，在這一過程中他獲得了一系列新奇有趣的

9、結果，如三角形三內角之和小于兩個直角；過給定直線外一給定點，有無窮多條直線不與該給定直線相交，等等． 雖然這些結果實際上并不包含任何矛盾，但薩凱里認為它們太不合情理，便以為自己導出了矛盾而判定銳角假設是不真實的．,薩凱里的工作激發(fā)了數(shù)學家們進一步的思考．1763年，克呂格爾（德國）在其博士論文中首先指出薩凱里的工作實際上并未導出矛盾，只是得到了似乎與經(jīng)驗不符的結論． 克呂格爾是第一位對平行公設能否由其

10、他公理加以證明表示懷疑的數(shù)學家．他的見解啟迪蘭伯特（瑞士）對這一問題進行了更加深入的探討．,1766年，蘭伯特寫出了《平行線理論》一書，在這本書中，他也像薩凱里那樣考慮了一個四邊形，不過他是從一個三直角四邊形出發(fā)，按照第四個角是直角、鈍角還是銳角作出了三個假設．由于鈍角假設導致矛盾，所以他很快就放棄了它． 與薩凱里不同的是，蘭伯特并不認為銳角假設導出的結論是矛盾，而且他認識到一組假設如果不引起矛盾的話，就提供了一種可能

11、的幾何．因此，蘭伯特最先指出了通過替換平行公設而展開新的無矛盾的幾何學的道路．,,薩凱里、克呂格爾和蘭伯特等，都可以看成是非歐幾何的先行者． 然而，當他們走到了非歐幾何的門檻前，卻由于各自不同的原因或則卻步后退(如薩凱里在證明了一系列非歐幾何的定理后卻宣布“歐幾里得無懈可擊”)，或則徘徊不前(蘭伯特（瑞士）在生前對是否發(fā)表自己的結論一直躊躇不定，《平行線理論》一書是他死后由朋友發(fā)表的)．,突破具有兩千年根基的歐氏幾何傳

12、統(tǒng)的束縛，需要更高大的巨人，這樣的時機在19世紀初逐漸成熟，并且也像解析幾何、微積分的創(chuàng)立一樣，這樣的人物出現(xiàn)了不止一位． 對非歐幾何來說，他們是高斯、波約(J.Bolyai，1802—1860)和羅巴切夫斯基(N.I.Lobachevsky,1793-1856)．,下見：希爾伯特的評價。,,,希爾伯特說：“19世紀最富有啟發(fā)性和最值得注意的成就是 非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)。”,9.2 非歐幾何的誕生,前面講過，在非歐幾

13、何正式建立之前，它的技術性內容已經(jīng)被大量地推導出來．但最先認識到非歐幾何是一種邏輯上相容并且可以描述物質空間、像歐氏幾何一樣正確的新幾何學的是高斯．,高斯,高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年—1855年），生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國著名數(shù)學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。 　　高斯的成就遍及數(shù)學的各個領域，在數(shù)論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級數(shù)、復變函數(shù)論以及橢圓函數(shù)論等方面均有開創(chuàng)性

14、貢獻。他十分注重數(shù)學的應用，并且在對天文學、大地測量學和磁學的研究中也偏重于用數(shù)學方法進行研究。,非歐幾何的誕生,“非歐幾何”的名稱來源于高斯。他從1799年開始意識到平行公設不能由其他公理推出，并從1813年起發(fā)展了這種平行公設在其中不成立的新幾何。,非歐幾何的誕生,為了驗證“非歐幾何”應用的可能性，他實際測量了由三座山峰構成的三角形，此三角形的三邊分別為：69，85與109公里。他發(fā)現(xiàn)其內角和比1800大了近15〞。,從高斯的遺稿中

15、可以了解到，他從1799年開始意識到平行公設不能從其他的歐幾里得公理推出來，并從1813年起發(fā)展了這種平行公設在其中不成立的新幾何． 他起先稱之為“反歐幾里得幾何”，最后改稱為“非歐幾里得幾何”，所以“非歐幾何”這個名稱正是來自高斯．,但他除了在給朋友的一些信件中對其非歐幾何的思想有所透露外，高斯生前并沒有發(fā)表過任何關于非歐幾何的論著．這主要是因為他感到自己的發(fā)現(xiàn)與當時流行的康德空間哲學相抵觸，擔心世俗的攻擊．

16、 他曾在給貝塞爾(P.W.Bessel)的一封信中說：如果他公布自己的這些發(fā)現(xiàn)，“黃蜂就會圍著耳朵飛”，并會“引起波哀提亞人(特指有世俗偏見的愚人)的叫囂”．,當聲譽甚隆的高斯決定將自己的發(fā)現(xiàn)秘而不宣時，一位尚名不見經(jīng)傳的匈牙利青年波約卻急切地希望通過高斯的評價而將自己關于非歐幾何的研究公諸于世，波約的父親F.波約是高斯的朋友，也是一位數(shù)學家．,1832年2月14日，F(xiàn).波約將他兒子的一篇題為《絕對空間的科學》的26頁文章寄給

17、高斯，這篇文章也作為F．波約剛剛完成的一本數(shù)學著作的附錄而發(fā)表，其中論述的所謂“絕對幾何”就是非歐幾何．F．波約請高斯對他兒子的論文發(fā)表意見。,波約,匈牙利數(shù)學家----波約,“稱贊他(即J.波約)就等于稱贊我自己．整篇文章的內容，您兒子所采取的思路和獲得的結果，與我在30至35年前的思考不謀而合．”,J.波約對高斯的答復深感失望，認為高斯想剽竊自己的成果． 1840年俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基關于非歐幾何的德文著作出版后

18、，更使J.波約灰心喪氣，從此便不再發(fā)表數(shù)學論文，而他的父親倒很開通，安慰他說： “春天的紫羅蘭在各處盛開．”,然而高斯回信說：,在非歐幾何的三位發(fā)明人中，只有羅巴切夫斯基最早、最系統(tǒng)地發(fā)表了自己的研究成果，并且也是最堅定地宣傳和捍衛(wèi)自己的新思想的一位。 他先是于1826年在喀山大學發(fā)表了《簡要論述平行線定理的一個嚴格證明》的演講，報告了自己關于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，而后又在1829年發(fā)表了題為《論幾何

19、原理》的論文，這是歷史上第一篇公開發(fā)表的非歐幾何文獻 。,,,羅巴切夫斯基,羅巴切夫斯基,羅巴切夫斯基,,羅巴切夫斯基1792年生于俄國下諾伏哥羅德（今高爾基城），1807年進入喀山大學，1811年畢業(yè)并獲碩士學位。 羅巴切夫斯基畢業(yè)后留校任職，歷任教授助理、非常任教授、常任教授、物理數(shù)學系主任，35歲被任命為校長。1846年以后任喀山學區(qū)副督學，直至逝世。 如果沒有羅氏幾何學，羅巴切

20、夫斯基只能算一個優(yōu)秀的科學與教育管理者。,羅巴切夫斯基后來為發(fā)展、闡釋這種新幾何學而付出了畢生心血． 他生前發(fā)表了許多論著，其中1835--1838年間的系列論文《具有完備的平行線理論的新幾何學原理》較好地表述了他的思想，而1840年用德文出版的《平行理論的幾何研究》則引起高斯的關注，這使他在1842年成為德國哥廷根科學協(xié)會會員．,羅巴切夫斯基非歐幾何的基本思想與高斯、波約是一致的，即用與歐幾里得第五公設相反的斷言：

21、通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩條直線平行于已知直線，作為替代公設，由此出發(fā)進行邏輯推導而得出一連串新幾何學的定理． 羅巴切夫斯基明確指出，這些定理并不包含矛盾，因而它的總體就形成了一個邏輯上可能的、無矛盾的理論，這個理論就是一種新的幾何學——非歐幾里得幾何學．,設給定了直線 和直線外一點 ，從 引 的垂直線 ．按照羅巴切夫斯基的基本假設，至少存在兩

22、條直線 ，通過點 且不與直線 相交(注意圖形在這里只起輔助理解的作用，羅氏論證的并不是我們普通平面上所作的圖．,,羅巴切夫斯基考慮所有過 不與 相交的直線的極限情形，指出這樣的極限直線有兩條( 與 )，并證明了它們也不與 相交．因此， 與 ，便構成了所有不與 相交的直線的邊界，在這兩條邊界直線所成夾角 內的所有直線都不與 相交

23、．,,羅巴切基稱 與 為 的“平行線”，而落在角口內的所有直線叫不相交直線．如果按不相交即平行的意義理解，那么羅巴切夫斯基的幾何里，過直線外一點就可以引無窮多條直線與給定的直線平行．,,,,若把平行角記作 ，則 時，就得到歐氏平行公設．若 ，則 單調增加且趨于 ；而 時， 單調減少且趨于0．換句話說，如果在離

24、直線 很遠處作與此直線垂線很小夾角的直線，那么我們可以沿著這條“傾斜”的直線前進而永遠不與直線 相遇!,,羅巴切夫斯基還將夾角 的一半稱為“平行角”，因 小于兩直角，故平行角小于直角．羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)，平行角是點 到直線 的距離 的函數(shù)．,用歐氏幾何的眼光來看，羅巴切夫斯基幾何還有許多令人驚奇的結果，我們只能舉一些例子，如：,1．三角形三內角之和小于兩直角，假如三角

25、形變大，使它所有三條高都無限增長，則它的三個內角全部趨向于零；,2．不存在面積任意大的三角形；,3．如果兩個三角形的三個角相等，它們就全等；,4．圓周長 不與半徑 成正比，而是更迅速地增長，并符合下面的公式,其中 是依賴于長度單位的常數(shù)．利用 的級數(shù)展開又可以得到,,因此，常數(shù) 越大， 就越小，上述公式就越接近于普通歐氏幾何中的圓周長公式 ．這只是一個例子，說明羅巴切夫斯基

26、幾何在極限情形下就變成歐幾里得幾何．,,,羅巴切夫斯基還發(fā)展了非歐三角學，得出一系列三角公式，主要有,9.3 非歐幾何的發(fā)展與確認,德國數(shù)學家黎曼(B.Riemann，1826—1866)在1854年發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想而建立了一種更廣泛的幾何，即現(xiàn)在所稱的黎曼幾何．羅巴切夫斯基幾何以及歐氏幾何都只不過是這種幾何的特例．,,黎曼非歐幾何,黎曼(1826-1866）德國著名數(shù)學家。1846年，進入哥廷根大學學神學，后在數(shù)學家的影響

27、下，放棄神學改學數(shù)學，有幸成為高斯晚年的學生。獲博士后留校。,黎曼（1826-1866）,黎曼的研究是以高斯關于曲面的內蘊微分幾何為基礎的．內蘊微分幾何也是19世紀幾何學的重大發(fā)展之一． 我們知道，在蒙日等人開創(chuàng)的微分幾何中，曲面是在歐氏空間內考察的，但高斯1828年發(fā)表的論文《關于曲面的一般研究》則提出了一種全新的觀念，即一張曲面本身就構成一個空間． 它的許多性質(如曲面上的距離、角度、總曲率是等)

28、并不依賴于背景空間，這種以研究曲面內在性質為主的微分幾何稱為“內蘊微分幾何”．,黎曼非歐幾何,1854年發(fā)表就職演說《關于幾何基礎的假設》（1868年發(fā)表），其中建立了黎曼空間概念，創(chuàng)立了黎曼幾何學的基礎。主要思想：（1）區(qū)分了無界域無限的概念；（2）對歐幾里得的公設1)、2)、5)作了如下修改： 1）兩個不同的點至少確定一條直線； 2）直線是無界的； 3）平面上任何兩條直線都相交。,在他1854年發(fā)表

29、的題為《關于幾何基礎的假設》的演講中，黎曼將高斯關于歐氏空間中曲面的內蘊幾何推廣為任意空間的內蘊幾何．他把 維空間稱作一個流形， 維流形中的一個點，可以用 個參數(shù) 的一組特定值 來表示，這些參數(shù)就叫作流形的坐標．,黎曼幾何，為愛因斯坦的廣義相對論提供了數(shù)學基礎。,,黎曼從定義兩個鄰近點的距離出發(fā)，假定這個微小距離的平方是一個二次微分齊式,,其中 是坐標

30、 的函數(shù)， ，并且上式右邊總取正值．這個表達式后來以“黎曼度量”著稱．,在此基礎上，黎曼又定義了曲線的長度，兩曲線在一點的交角等，所有這些度量性質都是僅由 表達式中的系數(shù) 確定的．,黎曼還引進了流形曲率的概念．在黎曼幾何中，最重要的一種對象就是所謂的常曲率空間(即在每一點上曲率都相等的流形)，對于三維空間，有以下三種情形：,1．曲率為正常數(shù)；

31、2．曲率為負常數(shù)； 3．曲率恒等于零．,黎曼指出后兩種情形分別對應于羅巴切夫斯基的非歐幾何學和通常的歐氏幾何學，而第一種情形則是黎曼本人的創(chuàng)造，它對應于另一種非歐幾何學．在這種幾何中，過已知直線外一點，不能作任何平行于該給定直線的直線．這實際上是以前面提到的薩凱里等人的鈍角假設為基礎而展開的非歐幾何學．,在黎曼之前，從薩凱里到羅巴切夫斯基，都認為鈍角假設與直線可以無限延長的假定矛盾，因而取消了這個假設．

32、但黎曼區(qū)分了“無限”與“無界”這兩個概念，認為直線可以無限延長并不意味著就其長短而言是無限的，只不過是說，它是無端的或無界的．可以證明，在對無限與無界概念作了區(qū)分以后，人們在鈍角假設下也可像在銳角假設下一樣，無矛盾地展開一種幾何．這第二種非歐幾何，也叫(正常曲率曲面上的)黎曼幾何。,,作為區(qū)別，數(shù)學史文獻上就把羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)的非歐幾何叫作羅巴切夫斯基幾何．普通球面上的幾何就是黎曼非歐幾何，其上的每個大圓可以看成是一條“直線”．容易看出

33、，任意球面“直線”都不可能永不相交 。,黎曼可以說是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學家．他創(chuàng)立的黎曼幾何不僅是對已經(jīng)出現(xiàn)的非歐幾何(羅巴切夫斯基幾何)的承認，而且顯示了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。,,黎曼也是現(xiàn)代數(shù)學史上最具創(chuàng)造性的數(shù)學家之一．他1826年出生在德國一個牧師家庭，由于家庭環(huán)境的影響，黎曼最初進人哥廷根大學時學的是神學和哲學，但不久他就喜歡上了數(shù)學。 在征得父親同意后，黎曼將數(shù)學選定為自己的專業(yè)．然而經(jīng)過一年后

34、，他發(fā)現(xiàn)哥廷根大學開設的數(shù)學課程過于陳舊，甚至連高斯也在講初等的課程，,黎曼（德國）,黎曼,,于是他決定去柏林隨雅可比、狄利克雷(Dirichlet)等數(shù)學家學習．1849年，黎曼重返哥廷根在高斯指導下做博士論文，題目為《單復變函數(shù)一般理論基礎》．,黎曼（德國）,結果，這篇論文得到了高斯的贊賞，他以少有的激情給作者寫了如下評語：,“黎曼先生提交的博士論文提供了可信的證據(jù)，表明作者對他的論文所涉及的主題進行了全面、深入的研究，顯示了一個具

35、有創(chuàng)造力的、活躍的、真正數(shù)學的頭腦以及了不起的富有成果的獨創(chuàng)性．”,不幸的是，黎曼正值他的創(chuàng)造高峰時因感染上肺結核而去世，死時還不到40歲．黎曼在他短暫的一生中，對于幾何、分析和物理學的眾多領域都作了開創(chuàng)性的貢獻． 有數(shù)學家評論說：“黎曼是一個富有想象的天才，他的想法即使沒有證明，也鼓舞了整整一個世紀的數(shù)學家．”,黎曼,1826年9月17日，黎曼生于德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個鄉(xiāng)村的窮苦牧師。

36、他六歲開始上學，14歲進入大學預科學習，19歲按其父親的意愿進入哥廷根大學攻讀哲學和神學，以便將來繼承父志也當一名牧師。 由于從小酷愛數(shù)學，黎曼在學習哲學和神學的同時也聽些數(shù)學課。當時的哥廷根大學是世界數(shù)學的中心之一，黎曼被這里的數(shù)學教學和數(shù)學研究的氣氛所感染，決定放棄神學，專攻數(shù)學。 　　 1847年，黎曼轉到柏林大學學習，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學生。1849年重回哥廷根大學攻讀博士學位，成為高斯晚

37、年的學生。,1851年，黎曼獲得數(shù)學博士學位；1859年接替去世的狄利克雷被聘為教授。 　　因長年的貧困和勞累，黎曼在1862年婚后不到一個月就開始患胸膜炎和肺結核，其后四年的大部分時間在意大利治病療養(yǎng)。1866年7月20日病逝于意大利，終年39歲。 　　黎曼是世界數(shù)學史上最具獨創(chuàng)精神的數(shù)學家之一。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富于對概念的創(chuàng)造與想象。黎曼在其短暫的一生中為數(shù)學的眾多領域作了許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，為世界數(shù)學

38、建立了豐功偉績。,黎曼,19世紀70年代以后，意大利數(shù)學家貝爾特拉米(E.Beltrami)、德國數(shù)學家克萊因(F.Klein)和法國數(shù)學家龐加萊(H.Poincare)等人先后在歐幾里得空間中給出了非歐幾何的直觀模型，從而揭示出非歐幾何的現(xiàn)實意義．至此，非歐幾何才真正獲得了廣泛的理解．,,非歐幾何的模型,1）貝爾特拉米（E.Beltrami,1835-1899）模型；2）克萊因（F.Keller，1849-1925）模型；3）龐加