1、統(tǒng)計學,statistics,高等學校應用型特色規(guī)劃教材,清華大學出版社,第一節(jié) 變異指標的基本理論,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第三節(jié) 標準差和標準差系數,【學習目標】通過本章的學習和習題演算，掌握變異指標的意義和作用；標準差和標準差系數的計算和應用。了解變異指標的分布特性；極差、平均差和四分位差的概念、計算公式和特點；分布的偏度與峰度。,第四節(jié) 偏度和峰度,第五節(jié) 變異指標的應用,第六章 變異指標,一、離中趨勢的涵義,第

2、六章 變異指標,第一節(jié) 變異指標的基本理論,變異指標值越大，平均指標的代表性越??；反之，平均指標的代表性越大,二、變異指標的作用,第六章 變異指標,第一節(jié) 變異指標的基本理論,衡量和比較平均數代表性的大??；是進行質量控制的基礎；是衡量風險程度的尺度。,例如：某車間有兩個生產小組，各有7名工人，各人日產量如下:甲組：20，40，60，70，80，100，120乙組：67，68，69，70，71，72，73,第六章 變異指標,

3、第一節(jié) 變異指標的基本理論,第六章 變異指標,第一節(jié) 變異指標的基本理論,【專欄6－1】,國家統(tǒng)計局日前發(fā)布的報告稱，與2005年的工資數據相比，2006年全國城鎮(zhèn)單位在崗職工的年平均工資增加了2596元，日平均工資增加了10.36元。（中國證券報3月26日）溫家寶總理在十屆全國人大五次會議記者招待會上曾說：“一個艦隊決定它速度快慢的不是那個航行最快的船只，而是那個最慢的船只?！蓖瑯?，決定全國城鎮(zhèn)單位在崗職工工資整體發(fā)展速度的是廣大

4、低收入者的增長情況。,別把平均指標看得過重,第六章 變異指標,【專欄6－1】,目前，雖然過去15年中，中國居民工資性收入穩(wěn)步增長，但收入差距的擴大，已成為工資分配中的突出問題。1月31日，國家發(fā)改委官方網站公布系列收入分配報告顯示，1990～2005年，城鄉(xiāng)居民的工資性收入在居民總收入中所占的比重從45.3%逐步提高到63.2%.但也就在這一時期，平均貨幣工資收入最高最低行業(yè)之比由1.76∶1擴大為4.88∶1。如果我們不注重行業(yè)間的收

5、入差距過大問題，不采取措施彌補這種差距，而是任其擴大，一味追求平均指標的增長，那就無助于“整個社會的生活狀況”的改善，因為一個艦隊的速度，取決于那個最慢的船只。,別把平均指標看得過重,第六章 變異指標,第六章 變異指標,第一節(jié) 變異指標的基本理論,二、變異指標的種類,,以標志值之間相互比較說明變異情況,以平均數為比較標準來說明標志的變異情況,以正態(tài)分布為標準說明分配數列偏離情況的指標,平均差,標準差,平均差系數,標準差系數,方差,峰度

6、,偏度,全距,分位差,,,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標,指所研究的數據中，最大值與最小值之差，又稱極差。,一、全距,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標,一、全距,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標,一、全距,【例B】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產值計劃完成情況如下：,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標,一、全距,缺點:①僅取決于兩個極端值的水平，不能反映其間的變量分布情況

7、；②受個別極端值的影響過于顯著，不符合穩(wěn)健性和耐抗性的要求。,全距的特點,優(yōu)點:計算方法簡單、易懂；,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標,二、分位差,從變量數列中，剔除了一部分極端值后計算的類似于極差的指標。,四分位差,十六分位差,十分位差,八分位差,三十二分位差,百分位差,,上四分位數,下四分位數,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標,三、平均差,⑴ 簡單平均差——適用于未分組資料,是各個數據與其算術平均數

8、的離差絕對值的算術平均數，用 表示。,計算公式：,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標,三、平均差,【例A】某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。,解：,即該售貨小組5個人銷售額的平均差為93.6元。,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標,三、平均差,⑵ 加權平均差——適用于分組資料,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變

9、異指標,三、平均差,【例B】計算下表中某公司職工月工資的平均差。,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標,三、平均差,解：,即該公司職工月工資的平均差為138.95元。,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標,三、平均差,優(yōu)點:不易受極端數值的影響，能綜合反映全部單位標志值的實際差異程度；缺點:用絕對值的形式消除各標志值與算術平均數離差的正負值問題，不便于作數學處理和參與統(tǒng)計分析運算。,平均差的特點,第二節(jié) 全距

10、、分位差和平均差,第六章 變異指標,三、平均差,平均差系數,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,⑴ 簡單標準差——適用于未分組資料,是各個數據與其算術平均數的離差平方的算術平均數的開平方根，用 來表示；標準差的平方又叫作方差，用 來表示。,標準差,計算公式：,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,【例A】某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標

11、準差。,解：,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,標準差,⑵ 加權標準差——適用于分組資料,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,【例B】計算下表中某公司職工月工資的標準差。,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,解：,（比較：其工資的平均差為138.95元）,即該公司職工月工資的標準差為167.9元。,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,由同一資料計算的標準差的結果一般要略大于平均差。證

12、明：當a,b,c≥0時，有,標準差的特點,不易受極端數值的影響，能綜合反映全部單位標志值的實際差異程度；用平方的方法消除各標志值與算術平均數離差的正負值問題，可方便地用于數學處理和統(tǒng)計分析運算.,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,標準差的簡捷計算,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,標準差系數,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,,,,可比,,,,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,身

13、高的差異水平：cm,體重的差異水平：kg,可比,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,【例】某年級一、二兩班某門課的平均成績分別為82分和76分，其成績的標準差分別為15.6分和14.8分，比較兩班平均成績代表性的大小。,解：,二班成績的標準差系數為：,因為 ，所以一班平均成績的代表性比二班大。,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,是非標志總體,為研究是非標志總體的數量特征，令,

14、第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,是非標志總體的指標,具有某種標志表現的單位數所占的成數,不具有某種標志表現的單位數所占的成數,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,是非標志總體的指標,均值,標準差,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,是非標志總體的指標,方差,標準差系數,第三節(jié) 標準差和標準差系數,第六章 變異指標,是非標志總體的指標,【例】某廠某月份生產了400件產品，其中合格品380

15、件，不合格品20件。求產品質量分布的集中趨勢與離中趨勢。,解：,,常用的幾種標志變異指標,概 念 計 算 特 點,數列中最大值與最小值之差,1．極差 （R）,R=最大值-最小值,優(yōu)點：容易理解， 計算方便缺點：不能反映全部數據分布狀況,2．平均差 （A.D）,各標志值與均值離差絕對值的算術平均,,,,簡單：,加權：,優(yōu)點：反映全部數據分布狀況缺點

16、：取絕對值 ,數字上 不盡合理,,,,,第六章 變異指標,概 念 計 算 特 點,各標志值與均值離差平方的平均。方差的平方根（取正根）,3．方差（σ2） 和 標準差(σ),優(yōu)點：反映全部數據分布狀況，數字上合理。缺點：受計量單位和平均水平影響，不便于比較,4．標準差系 數 （Vσ）,標準差與均值之商，是無量綱的系數,,,,簡單：,加權：,優(yōu)點：適宜不同數據集的比

17、較缺點：對數據結構變化反應不靈敏,,,,,第六章 變異指標,,分布的矩,1.矩的基本形式,,,第i個變量,,,常數,,,權數,,,第六章 變異指標,第六章 變異指標,第四節(jié) 偏度與峰度,,,原點矩,中心矩,,,未分組資料,分組資料,未分組資料,分組資料,第六章 變異指標,,,,,,,,,,,,(對稱分布),正偏態(tài)分布（右）,負偏態(tài)分布(左）,1.平均數與眾數比較法,第六章 變異指標,2.矩法,(m3——三階中心矩),定義M=∑(X

18、-A)k/n為變量X關于A的k階矩。,當A=0，即以原點為中心，上式稱為““K階原點矩”。,K=1，2，3時，有：,一階原點矩μ1=∑(X-0)1/n=∑X/n二階原點矩μ2=∑(X-0)2/n=∑X2/n三階原點矩μ3=∑(X-0)3/n=∑X3/n,第六章 變異指標,2.矩法,當A= ，即以 為中心，上式稱為“K階中心矩”。,K=1，2，3時，有：,一階中心矩二階中心矩三階中心矩,第六章 變異指標,K=1，2，3

19、時，有：,一階中心矩二階中心矩三階中心矩,,,,所以，ν3可以測定偏度。為消除量綱，轉變?yōu)橄禂?，再除以?。,,0正偏態(tài), 0,第六章 變異指標,測定分布的偏度,,,,,,,,,,,,(對稱分布),正偏態(tài)分布（右）,負偏態(tài)分布(左）,3.分位數法,,不同分布情形下諸四分位數之間的關系,,,,,第六章 變異指標,3.分位數法,,由上頁圖可知，當公布為對稱時，中位數與上、下四分位數的距離相等地；當分布為正偏時，中位數與上四分位數的距離大

20、于它與下四分位數的距離；當分布為負偏時，中位數與上四分位數的距離小于它與下四分位數的距離，因此，中位數與上、下四分位數的距離之差可以反映偏斜方向。,第六章 變異指標,測定分布的偏度,3.分位數法,,＞0 分布為正偏,＜0 分布為負偏,=0 分布為對稱,第六章 變異指標,1.矩法,,,測定分布的峰度,,＞0 分布為高峰度的,＜0 分布為低峰度的,=0

21、 分布為正態(tài)峰度的,第六章 變異指標,第六章 變異指標,2.分位數法,,,觀察表明，此式計算的結果數值越小，分布圖形越陡峭；反之，數值越大，分布圖形越平坦。且在理論上可證明，對于正態(tài)分布，這樣計算的結果總是0.526，故可定義相應的峰度指標為：,第五節(jié) 變異指標的應用,,,,,,,,2. 總方差與組方差相結合,3. 偏度、峰度與公差相結合,1. 平均指標與變異指標相結合,第六章 變異指標,本章小結：,（1）平均指標描述的是總體的集中

22、趨勢，而標志變異指標描述的是總體的離中趨勢。它們從兩方面來反映總體的分布特征。其作用首先是衡量平均指標代表性大小的一種尺度，其次還可以反映社會經濟活動過程的均衡性與協(xié)調性。 （2）全距、四分位差、平均差與標準差在反映標志變異程度方面各有優(yōu)缺點。方差()和標準差()是應用最廣的標志變異指標。標準差與標準差系數是反映標志差異程度的主要指標。它比前面介紹的其它指標都科學。標準差就是標志值與其算術平均數離差的平方的算術平均數的平方根。,第六章

23、 變異指標,本章小結：,（3）為了對比和分析不同平均水平總體的標志差異程度，就需要使用標準差系數。標準差系數是標準差與其算術平均數之比，它既消除了變量數列水平的影響，是反映標志差異程度方面目前最科學的統(tǒng)計指標之一。（4）要掌握是非標志的平均數與標準差的計算。是非標志的最大值是0.25。,第六章 變異指標,復習思考題,1. 如何理解標志變異指標是衡量平均數代表性大小的尺度？2. 全距、平均差和標準差各有什么特點？3. 為什么說標準

24、差是各種標志變異指標中最常用的指標？4. 什么是標準差系數，計算標準差系數有何意義？5. 標志變異指標與平均數有何關系？6. 在何種情況下，只需計算標準差而不必計算標志變異系數，就可以比較出不同資料的平均數代表性的大小，為什么？ 7. 某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元。試計算全距。,,第六章 變異指標,復習思考題,,第六章 變異指標,8. 已知某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為4

25、40元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。9. 某車間有兩個小組，每組都是6個工人，各人日產量件數如下：第一組：20，40，60，80，100，120第二組：67，68，69，71，72，73試計算其平均差。,復習思考題,,第六章 變異指標,10. 某校統(tǒng)計學專業(yè)統(tǒng)計學成績如下表，計算其平均差。,復習思考題,,第六章 變異指標,11. 某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為440元、480元、5

26、20元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標準差。計算下表中某公司職工月工資的標準差。,復習思考題,,第六章 變異指標,12. 甲、乙兩單位人數及月工資資料如下：,根據上表資料：（1）比較甲乙兩單位哪個單位工資水平高；（2）說明哪個單位工資更具有代表性。,復習思考題,,第六章 變異指標,13. 根據平均數和標準差的關系。,，則標準差為多少？,，則標準差系數為多少？,，則平均數為多少？,，則平均數為多少？,1. 設,2. 設,3.