1、1楚雄師范學院數(shù)學系課程教案楚雄師范學院數(shù)學系課程教案(數(shù)學分析數(shù)學分析(二)周學時周學時6節(jié))周次第1周(2008.2.282008.3.2)課題第七章第七章實數(shù)的完備性實數(shù)的完備性7.1關于實數(shù)的完備性的基本定理學時2學時教學內容（主要）一.閉區(qū)間套定理二.柯西收斂準則三.聚點定理教學目標1.深刻理解并掌握閉區(qū)間套定理2.深刻理解并掌握柯西收斂準則3.深刻理解并掌握聚點的概念及聚點引理教學重點1.閉區(qū)間套定理的證明思想和證明方法2.

2、柯西收斂準則的證明思想和證明方法3.聚點的概念及聚點引理教學難點1.柯西收斂準則的證明思想和證明方法2.聚點引理的證明思想和證明方法教學方法與手段分析教學方法、綜合教學方法、探索式的教學方法(借助多媒體輔助教學)教學進程(教學設計)第七章第七章實數(shù)的完備性實數(shù)的完備性7.1關于實數(shù)的完備性的基本定理關于實數(shù)的完備性的基本定理極限理論是數(shù)學分析的基礎理論極限理論的問題首先是極限存在問題數(shù)列是否存在極限不僅與數(shù)列自身的結構有關而且與數(shù)列所在

3、數(shù)集有關單調有界必有極限這一結論在實數(shù)集中成立，但在有理數(shù)集中卻不成立.實數(shù)集關于極限運算封閉的這種性質叫做實數(shù)的完備性或實數(shù)的連續(xù)性.刻劃研究這種實數(shù)集的特性方法有多種各種教材也有不同的處理研究辦法首先介紹學習我們教材的辦法再介紹其它的辦法.一.閉區(qū)間定理閉區(qū)間定理定義定義1.若閉區(qū)間列具有如下性質：????nnab(1).????11(12)nnnnababn?????(2).??lim0nnnab????則稱是閉區(qū)間套簡稱區(qū)間套.

4、????nnab定理定理1.（閉區(qū)間套定理）（閉區(qū)間套定理）若是一閉區(qū)間套則存在唯一點????nnab??nnab??即.(12)n??nnab???(12)n??證明證明:存在性存在性由條件(1)單調有上界單減有下界故它們存在極限.由條件(2)??na??nb4故由閉區(qū)間定理存在.??nn????(12......)n?再由定理1推論當時.且內含有N???0?Nn???)(????Unn?)(??U中除有限項外的所有項故.??nali

5、mnna????三.聚點定理聚點定理定義定義1.設是數(shù)軸上的點集是一已知的點(可以屬于也可以不屬于)S?SS若內都含有中的無窮多個點則稱是點集的聚點.0???)(??US?S例1.有兩個聚點與.????????nn1)1(1?1例2.設則及與均是其聚點.????()SabSab??Sab例3.都沒有聚點且任何有限集均無聚點.ZZ?例4.若收斂則其極限是聚點但反之不然.??na引理引理:下列條件等價(1).是的聚點；?S(2).；?0??

6、??0U????(3).存在各項互異點列使.??nxS?limnnx????證明證明:(1)(2).顯然.?(2)(1)?設則取00()U???????則存在.11????011xUS????取則存在且.211min2?????????????022xUS????21xx?取則存在.且.)31min(23x??????033xUS????23xx?……………………………………………………………………………..一般地令則存在且.11min