1、2009年第一屆全國大學生數學競賽預賽試卷一、填空題（每小題一、填空題（每小題5分，共分，共2020分）分）1計算____________，其中區(qū)域由直線與???????yxyxxyyxDdd1)1ln()(D1??yx兩坐標軸所圍成三角形區(qū)域.2設是連續(xù)函數，且滿足則____________.)(xf????2022d)(3)(xxfxxf?)(xf3曲面平行平面的切平面方程是__________.2222???yxz022???zy

2、x4設函數由方程確定，其中具有二階導數，且，則)(xyy?29ln)(yyfexe?f1??f________________.?22ddxy2、（5分）求極限分）求極限，其中，其中是給定的正整數是給定的正整數.xenxxxxneee)(lim20?????n三、（三、（1515分）設函數分）設函數連續(xù)，連續(xù)，，且，且，為常數，求為常數，求)(xf??10d)()(txtfxgAxxfx??)(lim0A并討論并討論在處的連續(xù)性處的連續(xù)

3、性.)(xg?)(xg?0?x四、（四、（1515分）已知平面區(qū)域分）已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試的正向邊界，試00|)(???????yxyxDLD證：證：（1）；???????LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin（2）.2sinsin25dd?????Lyyxyeyxe五、（五、（1010分）已知分）已知，，是某二階常系是某二階常系xxexey21??xxexey???2xxxeexey????23

4、數線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程數線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.二、（二、（1515分）設函數分）設函數在上具有二階導數，并且上具有二階導數，并且()fx()????且存在一點且存在一點，使得，使得。()0lim()0lim()0xxfxfxfx?????????????????0x0()0fx?3、（1515分）設函數分）設函數由參數方程由參數方程所確定，其中所確定，其中具有二階具有二階()yfx?22(1)

5、()xtttyt?????????()t?導數，曲線導數，曲線與在出相切，求函數出相切，求函數。()yt??22132tuyedue????1t?()t?四、（四、（1515分）設分）設證明：證明：10nnnkkaSa????（1）當）當時，級數時，級數收斂；收斂；1??1nnnaS?????（2）當）當且時，級數時，級數發(fā)散發(fā)散。1??()nsn????1nnnaS?????五、（五、（1515分）設分）設是過原點、方向為是過原點、方