1、,復變函數(shù)與積分變換,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,引言:,在十六世紀中葉，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次,方程 時引進了復數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個方程沒有根，并,把這個方程的兩個根形式地表為 。在當時，,包括他自己在內，誰也弄不清這樣表示有什麼好處。事實上，,復數(shù)

2、被Cardano引入后，在很長一段時間內不被人們所理睬，并,被認為是沒有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。直到十七與十八世紀，,隨著微積分的產生與發(fā)展，情況才有好轉。特別是由于 L.Euler,的研究結果，復數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler,公式 揭示了復指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關系。,然而一直到威瑟爾( C.Wessel 挪威.1745-1818)和阿爾岡(

3、R.Argand,法國.1768-1822）將復數(shù)用平面向量或點來表示，以及K.F.Gauss,(德國1777-1855)與漢密爾頓W.R.Hamilton (愛爾蘭1805-1865)定義,為一對有序實數(shù)后，才消除人們對復數(shù)真實性的長久,疑慮，“復變函數(shù)”這一數(shù)學分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。,,復數(shù),第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,意大利醫(yī)生、數(shù)學家、占星術家。一般稱其英文拼法名字卡當(Cardan)。

4、1501年9月24日生于帕維亞，1576年9月21日死于羅馬。早年學習古典文學、數(shù)學和星占學，后入帕維亞大學讀醫(yī)學，1526年獲醫(yī)學博士學位。1534年成為數(shù)學教師。1539年到米蘭醫(yī)學院任教，1543年成為帕維亞大學醫(yī)學教授。他在醫(yī)學上曾是聞名全歐的醫(yī)生，也是第一個記載斑疹傷寒病醫(yī)療方法的人。 　 在數(shù)學上以記載三次和四次代數(shù)方程的一般解法而著稱，發(fā)表在1545年出版的《大術》一書中。他說明解法取自另一數(shù)學家塔爾塔利亞，并且一名

5、叫費羅的人在 30年前已得知，但都沒有證明，他本人用幾何方法對三次方程求解公式進行了證明。實際上塔爾塔利亞只告知了兩種特例情形，而卡爾達諾敘述的公式具有一般性，因此后人稱這一公式為「卡爾達諾公式」或「卡當公式」。 　 書中還記載了他的學生費拉里發(fā)現(xiàn)的四次代數(shù)方程的一般解法，還有代數(shù)基本定理和韋達定理的初級形式，解方程中虛根的使用等許多方程的基本理論。 　 他被譽為16世紀文藝復興時期人文主義的代表人物和百科全書式的學者，一生共寫了

6、各種類型論著200多種，內容涉及力學、機械學、天文學、化學、生物學、密碼術、及占星術等等。,卡爾達諾（Cardano, Girolamo, 1501-1576）,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,復變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學，自然科學和工程技術中有著廣泛的應用，是解決諸如流體力學，電磁學，熱學彈性理論中平面問題的有力工具。,復變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實變函數(shù)在復數(shù)領域 的推廣和發(fā)展。,自變量為復數(shù)的函

7、數(shù)就是復變函數(shù), 它是本課程的研究對象.由于在中學階段已經(jīng)學過復數(shù)的概念和復數(shù)的運算,第一章將在原有的基礎上作簡要的復習和補充; 然后再介紹復平面上的區(qū)域以及復變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念, 為進一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎.,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第一章 復數(shù)與復變函數(shù),§1.1復數(shù)及其表示法,一對有序實數(shù)（ ）構成一個復數(shù)，記為 .,x, y

8、分別稱為 Z 的實部和虛部, 記作x=Re(Z), y=Im(Z), .,稱為 Z 的共軛復數(shù)。,與實數(shù)不同, 一般說來, 任意兩個復數(shù)不能比較大小.,兩個復數(shù)相等,他們的實部和虛部都相等,特別地，,,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,1.代數(shù)形式 :,復數(shù)的表示法,1)點表示：,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2) 向量表示：,----復數(shù)z的輻角(argument),記作

9、Arg z=q .,任何一個復數(shù)z?0有無窮多個幅角,將滿足,0,x,y,,,,,,,x,y,q,z=x+iy,|z|=r,----復數(shù)z的模,- <q0? 的q0 稱為Arg z的主值, 記作q0=arg z .則,Arg z=q0+2k =arg z +2k (k為任意整數(shù)),第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,當 z = 0 時, | z | = 0, 而幅角不確定. arg z可由

10、下列關系確定:,說明：當 z 在第二象限時，,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 指數(shù)形式與三角形式,利用直角坐標與極坐標的關系: x = r cosq, y = r sinq,可以將z表示成三角表示式:,利用歐拉公式 e iq = cosq + i sinq 得指數(shù)表示式:,例1 將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.,[解],1),z在第三象限, 因此,因此,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁

11、返回 結束,2) 顯然, r = | z | = 1, 又,因此,練習：,寫出 的輻角和它的指數(shù)形式。,解：,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,§1.2 復數(shù)的運算,設,z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ；z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z

12、2+z1z3,復數(shù)運算滿足交換律,結合律和分配律:,1 . 四則運算：,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,,,,,,,,加減法與平行四邊形法則的幾何意義:,乘、除法的幾何意義:,,,,,,,定理1 兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積, 兩個復 數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和.,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Ar

13、g z2,的意思是等式的兩 邊都是無限集合, 兩邊的集合相等, 即每給定等式左邊 的一個數(shù), 就有等式右邊的一個數(shù)與之對應, 反之亦然.,幾何上 z1z2 相當于將 z2 的模擴大 |z1| 倍并旋轉一個角度Arg z1 .,,,0,,,1,,,,,,,,,,,,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2：設,求,解：,若取,則,若取,則,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,;,按照乘積

14、的定義, 當z1?0時, 有,定理2 兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商, 兩個復數(shù) 的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差.,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2 . 乘方與開方運算,1）乘方,De Moivre （棣摩佛）公式：,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2 ）開方:,若滿足，,則稱w為z的n次方根，,記為,于是,推得,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁

15、 返回 結束,,從而,幾何解釋：z1/n的n個值就是以原點為中心, r1/n為半徑的圓 的內接正n邊形的n個頂點。,例2 求,[解] 因為,所以,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,即,注：四個根是內接于中心在原點半徑為21/8的圓的正方形的四個頂點.,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,§1.3 復數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形,很多平面圖

16、形能用復數(shù)形式的方程(或不等式)來表示; 也可以由給定的復數(shù)形式的方程(或不等式)來確定 它所表示的平面圖形.,例3 將通過兩點z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復數(shù)形式 的方程來表示. [解] ：通過點(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為,因此, 它的復數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1). (-?<t<+?),,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返

17、回 結束,由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成z=z1+t(z2-z1). (0?t?1),取,得知線段,的中點為,例4 求下列方程所表示的曲線:,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,解：,設 z = x + i y , 方程變?yōu)?幾何上, 該方程表示到點2i和-2的距離相等的點的軌跡, 所以方程表示的曲線就是連接點2i和-2的線段的垂直平分線, 方程為 y = - x , 也可用代數(shù)的方法求出

18、。,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,,,,O,x,y,-2,2i,y=-x,設 z = x + i y , 那末,可得所求曲線的方程為 y = -3 .,,,,O,y,x,y=-3,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,復數(shù)域的幾何模型---復球面,,,,0,,,,,,,,,,,,,N,,除了復數(shù)的平面表示方法外, 還可以用球面上的點來表示復數(shù).,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回

19、 結束,,,,,,,,,,,,,,,,,x2,x3,o,z(x,y),x1,y,P(x1,x2,x3),x1,x2,x3,N(0,0,2r),,對復平面內任一點z, 用直線將z與N相連, 與球面相交于P點, 則球面上除N點外的所有點和復平面上的所有點有一一對應的關系, 而N點本身可代表無窮遠點, 記作?.這樣的球面稱作復球面.,x,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,擴充復數(shù)域 --- 引進一個“新”的數(shù)∞:,

20、擴充復平面 --- 引進一個“理想點”: 無窮遠點 ∞.,約定:,,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,§ 1.4 區(qū)域,1. 區(qū)域的概念,平面上以 z0為中心, d (任意的正數(shù))為半徑的圓: |z-z0|<d 內部的點的集合稱為z0的鄰域, 而稱由不等式 0<|z-z0|<d 所確定的點集為z0的去心鄰域.,包括無窮遠點自身在內且滿足 |z|>M 的所有點的集合, 其中實數(shù) M

21、>0 , 稱為無窮遠點的鄰域. 即它是圓 |z|=M 的外部且包含無窮遠點本身. 不包括無窮遠點本身的僅滿足 |z|>M 的所有點稱為無窮遠點的去心鄰域, 也記作 M<|z|<?.,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,設G為一平面點集, z0為G中任意一點. 如果存在z0的一個鄰域, 該鄰域內的所有點都屬于G, 則稱z0為G的內點. 如果G內的每個點都是它的內點, 則稱G為

22、開集,平面點集D稱為一個區(qū)域, 如果它滿足下列兩個條件:1) D是一個開集;2) D是連通的。就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D 的一條折線連接起來.,設D為復平面內的一個區(qū)域, 如果點P不屬于D, 但在P的任意小的鄰域內總包含有D中的點, 這樣的點P稱為D的邊界點. D的所有邊界點組成D的邊界. 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的.,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,區(qū)域 D與它的邊

23、界一起構成閉區(qū)域或閉域, 記作?D.如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點為中心的圓里面, 即存在正數(shù) M, 使區(qū)域 D的每個點z都滿足 |z|<M, 則稱 D為有界的, 否則稱為無界的.,平面曲線在數(shù)學上, 經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線. 如果x(t)和y(t)是兩個連續(xù)的實變函數(shù), 則方程組x=x(t), y=y(t), (a?t?b)代表一條平面曲線, 稱為連續(xù)曲線. 如果令z(t)=x(t)+iy(t)則此曲

24、線可用一個方程z=z(t)(a?t?b)來代表. 這就是平面曲線的復數(shù)表示式.,2. 單連通域與多連通域,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,設C: z=z(t) (a?t?b)為一條連續(xù)曲線, z(a)與z(b)分別為C的起點與終點. 對于滿足 a<t1<b, a?t2?b 的 t1與 t2, 當 t1?t2而有 z(t1)=z(t2) 時, 點 z(t1)稱為曲線 C的重點. 沒有重點的連續(xù)曲

25、線 C, 稱為簡單曲線或若爾當(Jardan)曲線. 如果簡單曲線 C的起點與終點閉合, 即 z(a)=z(b) , 則曲線 C 稱為簡單閉曲線.,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,任意一條簡單閉曲線 C 把整個復平面唯一地分成三個互不相交的點集, 其中除去 C 外, 一個是有界區(qū)域, 稱為 C 的內部, 另一個是無界區(qū)域, 稱為 C 的外部, C 為它們的公共邊界. 簡單閉曲線的這一性質, 其幾何直觀意義是很清楚

26、的.,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定義 復平面上的一個區(qū)域 B, 如果在其中任作一條簡單閉曲線, 而曲線的內部總屬于B, 就稱為單連通域, 一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為多連通域.,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,§1.5 復變函數(shù),1. 復變函數(shù)的定義,定義 設 D 是復平面中的一個點集,,稱為復變函數(shù).,其確定了自變量為x和y的兩個二元實變函數(shù) u ,v .,例如,

27、 考察函數(shù) w = z2.令 z = x+iy, w = u+iv , 則u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy ,因而 w = z2 對應于兩個二元函數(shù):u = x2-y2, v = 2xy,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,在以后的討論中, D常常是一個平面區(qū)域, 稱之為定義域, 并且, 如無特別聲明, 所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).,2. 映射的概念,函數(shù) w=f (z) 在幾何上可以看

28、做是把 z平面上的一個點集D(定義集合)變到 w平面上的一個點集G (函數(shù)值集合)的映射(或變換). 如果 D 中的點 z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的點 w, 則 w 稱為 z 的象(映象), 而 z 稱為 w 的原象.,x,u,,,,D,,,,G,Z,,z,,w,,W=f(z),v,y,W,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1 設函數(shù)w = z =x – iy ; u=x , v=-y,,,,x,

29、y,O,,,u,v,O,,,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2 設函數(shù) w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 有 u = x2-y2, v = 2xy,,,,,,,,,,,,如果函數(shù)(映射) w=f (z) 與它的反函數(shù)(逆映射) z =j (w)都是單值的, 則稱函數(shù)(映射) w =f (z)是一一的. 此時, 我們也稱集合D與集合G是一一對應的.,舉例：曲