1、第六講,事件的獨立性,,顯然 P(A|B)=P(A),這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時稱事件A、B獨立.,一、兩事件的獨立性,A={第二次擲出6點}， B={第一次擲出6點}，,先看一個例子：,將一顆均勻骰子連擲兩次，,設(shè),由乘法公式知，當事件A、B獨立時，有 P(AB)=P(A) P(B),用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨立性,比用 P

2、(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.,P(AB)=P(B)P(A|B),若兩事件A、B滿足 P(AB)= P(A) P(B) (1)則稱A、B獨立，或稱A、B相互獨立.,兩事件獨立的定義,例1 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的},可見, P(A

3、B)=P(A)P(B),由于 P(A)=4/52=1/13,,說明事件A、B獨立.,問事件A、B是否獨立？,解：,P(AB)=2/52=1/26,P(B)=26/52=1/2,前面我們是根據(jù)兩事件獨立的定義作出結(jié)論的，也可以通過計算條件概率去做:,從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的},在實際應(yīng)用中, 往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.,則 由于 P(A)

4、=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 P(A)= P(A|B), 說明事件A、B獨立.,在實際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.,由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認為A、B獨立 .,（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生 的概率）,一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè) Ai={第i件是合格品} i=1,2,若抽取是有放回的, 則A1與A2獨立.,因為第二次抽取的結(jié)果受到

5、 第一次抽取的影響.,又如：,因為第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取的影響.,若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立.,請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？,即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,則A與B不獨立.,反之，若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0, 則A 、B不互斥.,而P(A) ≠0, P(B) ≠0,故 A、B不獨立,我們來計算：,

6、P(AB)=0,,問：能否在樣本空間S中找兩個事件,它們既相互獨立又互斥?,這兩個事件就是 S和,P( S) =P( )P(S)=0,與S獨立且互斥,不難發(fā)現(xiàn)， 與任何事件都獨立.,設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：,前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，,1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0

7、 4. P(AB)=P(A)P(B),,設(shè)A、B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：,1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),再請你做個小練習(xí).,,,,=P(A)[1- P(B)]= P(A) P( ),= P(A)- P(AB),P(A )= P(A

8、- A B),A、B獨立,故A與 獨立 .,概率的性質(zhì),= P(A)- P(A) P(B),證明: 僅證A與 獨立,二、多個事件的獨立性,將兩事件獨立的定義推廣到三個事件：,,推廣到n個事件的獨立性定義,可類似寫出：,包含等式總數(shù)為：,設(shè)A1,A2, …,An是 n個事件，如果對任意k(1<k n),任意1 i1<i2< …<ik n,具有等式則稱A1,A2, …,An為相互

9、獨立的事件.,請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別與聯(lián)系,兩兩獨立,相互獨立,,對n(n>2)個事件,,?,對獨立事件，許多概率計算可得到簡化：,例2 三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？,解：將三人編號為1，2，3，,三、獨立性的概念在計算概率中的應(yīng)用,所求為 P(A1+A2+A3),記 Ai={第i個人破譯出密碼} i=1,2,3,

10、記 Ai={第i個人破譯出密碼} i=1,2,3,1,2,所求為 P(A1+A2+A3),已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,P(A1+A2+A3),=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)],3,,n個獨立事件和的概率公式:,設(shè)事件 相互獨立,則,P(A1+…+An),也相互獨立,也就是說，n個獨立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減

11、去各自對立事件概率的乘積.,例 3 下面是一個串并聯(lián)電路示意圖. A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件. 它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率. 求電路正常工作的概率.,P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H),解：將電路正常工作記為W，由于各元件獨立工作，有,其中,P(C+D+E)=1-,P(F+G)=1-,P(W) 0.782,代入得,例 4 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊

12、, 三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛 機被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都擊中, 飛機必定被擊落, 求飛機被擊落的概率.,設(shè)B={飛機被擊落} Ai={飛機被i人擊中}, i=1,2,3,由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3),則 B=A1B+A2B+A3B,求解如下:

13、,可求得:,為求P(Ai ) , 設(shè) Hi={飛機被第i人擊中}, i=1,2,3,將數(shù)據(jù)代入計算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.,于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),,=0.458,=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1,即飛機被擊落的概