1、高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第1頁（共10頁）高等數(shù)學(xué)（本科少學(xué)時類型）第一章第一章函數(shù)與極限函數(shù)與極限第一節(jié)第一節(jié)函數(shù)函數(shù)○函數(shù)基礎(chǔ)（高中函數(shù)部分相關(guān)知識）（★★★）○鄰域（去心鄰域）（★）????|Uaxxa?????????|0Uaxxa???????第二節(jié)第二節(jié)數(shù)列的極限數(shù)列的極限○數(shù)列極限的證明（★）【題型示例】已知數(shù)列，證明??nx??limnxxa???【證明示例】語言N??1由化簡得，nxa??????gn?∴??Ng?????

2、?2即對，，當(dāng)時，始終0?????Ng???????Nn?有不等式成立，nxa???∴??axnx???lim第三節(jié)第三節(jié)函數(shù)的極限函數(shù)的極限○時函數(shù)極限的證明（★）0xx?【題型示例】已知函數(shù)，證明??xf??Axfxx??0lim【證明示例】語言???1由化簡得，??fxA?????00xxg????∴????g?2即對，，當(dāng)0???????g??00xx????時，始終有不等式成立，??fxA???∴??Axfxx??0lim○時

3、函數(shù)極限的證明（★）??x【題型示例】已知函數(shù)，證明??xf??Axfx???lim【證明示例】語言X??1由化簡得，??fxA?????xg??∴???gX?2即對，，當(dāng)時，始終有0??????gX??Xx?不等式成立，??fxA???∴??Axfx???lim第四節(jié)第四節(jié)無窮小與無窮大無窮小與無窮大○無窮小與無窮大的本質(zhì)（★）函數(shù)無窮小??xf???0lim?xf函數(shù)無窮大??xf?????xflim○無窮小與無窮大的相關(guān)定理與推論

4、（★★）（定理三）假設(shè)為有界函數(shù)，為無窮??xf??xg小，則????lim0fxgx??????（定理四）在自變量的某個變化過程中，若??xf為無窮大，則為無窮??；反之，若??1fx???xf為無窮小，且，則為無窮大??0fx???xf1?【題型示例】計算：（或）????0limxxfxgx????????x1∵≤∴函數(shù)在的任一去心??fxM??fx0xx?鄰域內(nèi)是有界的；???0xU?（∵≤，∴函數(shù)在上有??fxM??fxDx?界；

5、）2即函數(shù)是時的無窮?。??0lim0??xgxx??xg0xx?（即函數(shù)是時的無窮??0lim???xgx??xg??x?。唬?由定理可知????0lim0xxfxgx???????（）????lim0xfxgx????????第五節(jié)第五節(jié)極限運算法則極限運算法則○極限的四則運算法則（★★）（定理一）加減法則（定理二）乘除法則關(guān)于多項式、商式的極限運算??px??xq設(shè)：?????????????????????nnnmmmbxbxb

6、xqaxaxaxp110110則有???????????????0lim00baxqxpxmnmnmn???????????000lim00xxfxgxfxgx??????????????????????000000000gxgxfxgxfx?????（特別地，當(dāng)（不定型）時，通常????00lim0xxfxgx??分子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值，也可以用羅比達(dá)法則求解）高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第3頁（共10頁）第九節(jié)第

7、九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)○零點定理（★）【題型示例】證明：方程至少有一個????fxgxC??根介于與之間ab【證明示例】1（建立輔助函數(shù)）函數(shù)在??????xfxgxC????閉區(qū)間上連續(xù)；??ab2∵（端點異號）????0ab????3∴由零點定理，在開區(qū)間內(nèi)至少有一點，??ba?使得，即（??0???????0fgC?????）10???4這等式說明方程在開區(qū)間????fxgxC????ba內(nèi)至少有一個根?

8、第二章第二章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念○高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義（P83）（★★）【題型示例】已知函數(shù)，在????????baxexfx100??xx處可導(dǎo)，求，0?xab【求解示例】1∵，????0010fefa??????????????????00001120012feefbfe???????????????????2由函數(shù)可導(dǎo)定義??????????0010002ffafffb????????????

9、??????∴12ab??【題型示例】求在處的切線與法線方程??xfy?ax?（或：過圖像上點處的切線與法線??xfy???afa????方程）【求解示例】1，??xfy?????afyax????|2切線方程：??????yfafaxa????法線方程：??????1yfaxafa?????第二節(jié)第二節(jié)函數(shù)的和（差）函數(shù)的和（差）、積與商的求導(dǎo)法則、積與商的求導(dǎo)法則○函數(shù)和（差）、積與商的求導(dǎo)法則（★★★）1線性組合（定理一）：()u

10、vuv??????????特別地，當(dāng)時，有1????()uvuv??????2函數(shù)積的求導(dǎo)法則（定理二）：()uvuvuv?????3函數(shù)商的求導(dǎo)法則（定理三）：2uuvuvvv???????????第三節(jié)第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則○反函數(shù)的求導(dǎo)法則（★）【題型示例】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)??xf1?【求解示例】由題可得為直接函數(shù)，其在定于域??xf上單調(diào)、可導(dǎo)，且；∴D??0??xf????11fxfx?????

11、???○復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（★★★）【題型示例】設(shè)，求??2arcsin122lnxyexa????y?【求解示例】????????????????2222222arcsin122arcsin122222arcsin1222arcsin1222arcsin1222arcsin122arcsiarcsin12211121121221221xxxxxxxyexaexaxxaexaxexaxxxexxaexaeexa?????????????

12、????????????????????????????????????????????????????解：2n1222212xxxxxxa?????????????第四節(jié)第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)○（或）????????1nnfxfx???????????11nnnndydydxdx??????????（★）【題型示例】求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)??xy??1lnn【求解示例】，??1111yxx??????，??????12111yxx??????