1、對稱矩陣 C稱為完全正矩陣，若存在非負(fù)矩陣 U使得 C= U U T.完全正規(guī)劃在組合優(yōu)化，數(shù)理統(tǒng)計等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.本論文主要研究了與完全正規(guī)劃相關(guān)的若干問題.具體內(nèi)容如下：
　　首先，我們簡要介紹了完全正規(guī)劃的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，科學(xué)意義及相關(guān)的基礎(chǔ)知識.完全正矩陣的判定問題是 NP-難的.完全正矩陣的填充問題更為困難，是矩陣領(lǐng)域的一個未解決的問題.我們提出一個半定松弛等級算法，并討論了算法的性質(zhì).當(dāng)部分矩陣所有的對角元素都給

2、定時，若其不可完全正填充，算法能夠給出一個判定準(zhǔn)則;若其可完全正填充，算法可給出一個完全正填充，并給出填充矩陣的一個完全正分解.當(dāng)部分矩陣的對角元素部分給定時，算法也有類似的性質(zhì).
　　另外，關(guān)于完全正矩陣錐內(nèi)點的判定也是十分困難的，現(xiàn)在仍沒有十分有效的數(shù)值算法.我們從最優(yōu)化的角度給出了完全正矩陣錐內(nèi)部的一個充要條件.同時，將完全正錐內(nèi)點的判定問題轉(zhuǎn)化為矩變量錐約束的線性優(yōu)化問題，并提出了一個半定松弛等級算法.算法不但可以判定矩陣

3、是否是完全正錐的內(nèi)點，還能判定其是在邊界或是在外部.我們還討論了完全正矩陣錐內(nèi)點的Dickinson型完全正分解.
　　偏正矩陣是完全正矩陣的一個推廣.關(guān)于偏正矩陣的性質(zhì)及判定的研究工作目前依然很少.我們給出了偏正矩陣的一個等價刻畫，并提出了兩個算法來判定一個矩陣的偏正性.若矩陣是偏正的，則所提算法均能夠給出一個偏正分解.
　　在上述工作基礎(chǔ)之上，我們研究了更為復(fù)雜的最佳完全正矩陣逼近問題.考慮一般范數(shù)下（p=1,2,⑴或

4、F),對稱矩陣在完全正矩陣錐和線性約束交集上的最佳逼近.我們將其轉(zhuǎn)化范數(shù)錐和矩變量錐約束的線性優(yōu)化問題，并構(gòu)造一個半定松弛等級來求解，同時研究了算法的有限收斂性.若原問題不可行，則算法能夠給出一個判定準(zhǔn)則.若原問題可行，則算法總能得到一個最佳完全正逼近矩陣，并給出所得完全正逼近矩陣的一個完全正分解.
　　我們還考慮了線性矩陣束與完全正矩陣錐之間的距離問題.我們將其轉(zhuǎn)化為矩變量錐和二階錐約束的線性優(yōu)化問題，提出了一個半定松弛等級算法

5、，并分析了算法的收斂性質(zhì).同時，還給出了一個判定完全正性的新模型.
　　最后，我們考慮了張量優(yōu)化中的兩個問題.完全正張量是完全正矩陣的推廣.完全正張量的判定是一個NP-難問題.我們將完全正張量刻畫為一個截斷矩序列，并將完全正張量的判定問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)截斷矩序列是否允許一個表示測度問題，提出一個半定算法.若給定張量不是完全正的，給出一個判定準(zhǔn)則;若是完全正的，給出它的一個非負(fù)分解.
　　張量特征值互補問題也是一個NP-難問題.我