1、微分方程作為一種工具在純理論科學、應用科學、工程技術領域及其他許多領域都已得到廣泛應用。我們知道這些系統的數學模型都可以用微分方程來進行描述。這些方程可以采取多種多樣的形式，比如常微分方程、泛函微分方程、積分微分方程、偏微分方程等。對于常微分方程的研究已經比較成熟。對于偏微分方程等的研究，由于其變量的復雜性，研究起來比較困難。因此，我們試圖在一定的條件下，將偏微分方程的問題轉化為抽象空間(如Banach空間)中的常微分方程問題進行研究。

2、這就是半群理論立足的基礎。半群研究的對象主要是以時間為參變量的發(fā)展方程的有關問題。比如研究發(fā)展方程解的存在性、唯一性、解對參數的連續(xù)依賴性和正則性等。由偏微分方程(或與常微分方程耦和)描述的動態(tài)系統(如熱力學及波動傳導、化學中的擴散、彈性體的振動、各種場的運動模型等等)，再提出使積分型泛函性能指標取極大或極小的條件泛函極值問題(如時間，能量，二次型誤差最小等等)，從而產生了分布參數系統的最優(yōu)控制問題。有些反映擴散與遷移現象的數學問題，必

3、須用積分方程來解決，例如中子遷移理論中的一些問題等，從而產生了對積分方程的研究。此外，在對于一些現象的研究中，比如說人口在受到一些突變的條件如收成影響、疾病原因、移民因素，自然災害等，研究人口的變化問題，這時就要考慮到這些突變條件所產生的瞬時擾動的問題，從而產生了對受控的非線性脈沖發(fā)展系統的研究。從前面的闡述可知，無論是在實際意義上還是在理論上，對于非線性脈沖積微分方程及受控系統的研究都是有必要和有意義的。 在有限維空間中對于脈

4、沖微分方程的研究，已有豐富的結果?？蓞㈤哣.Lakshmikantham，Tao.Yang等人的書(見[3]，[4])及相關的研究論文。例如可查閱Guo和Liu、Liu和willms的論文(見[7]，[21])。 自從上世紀末，人們開始討論無限維空間中的脈沖微分方程。特別是Ahmed討論了由脈沖微分方程所決定的系統的最優(yōu)控制問題(見[10]，[11])。Xiang,Wei等人也繼續(xù)對半線性和強非線性系統及最優(yōu)控制進行了研究，并取

5、得了一系列的結果。(見[14]，[15]，[16]，[17]) 雖然在文獻中有大量的文章研究有限維空間和無限維空間中的積微分方程，但對于帶無界算子的非線性脈沖積微分方程特別是最優(yōu)控制問題并未進行系統的研究。本論文就是對這樣一類積微分方程進行研究。討論其解的存在唯一性，更重要的是考慮了由非線性脈沖方程所決定的系統的Bolza問題，給出了最優(yōu)控制的存在性并導出了最優(yōu)控制存在的必要條件，這是最優(yōu)控制理論中核心而又有相當難度的問題。

6、 本文主要是利用半群理論研究一類受控非線性脈沖積微分方程及其最優(yōu)控制問題。 (一)考慮Banach空間中非線性脈沖積微分方程： (Ⅰ){(x)(t)=Ax(t)+F(t，x)(t),(Gx)(t)，t∈(0，T]\Dx(0)=x0△x(ti)=Ji(x(tj)),i=1,2,3……n其中：D={t1，t2，……tn}，0＜t1＜t2＜……＜tn A是一個一般的C0半群{S(t))；t≥0}的無窮小生成元，G是

7、一個非線性積分算子(Gx)(t)=∫t0k(t，τ)g(τ，x(τ))dτ且△x(ti)=△x(tj+0)-△x(ti-0)=△x(ti+0)-△x(ti)表示x(t)在ti處的跳躍，Ji決定了在時間ti處的躍度。 我們研究系統(Ⅰ)解的存在唯一性，解的正則性等。給系統(Ⅰ)賦予一定的條件，比如f、g滿足局部Lipschz條件及線性增長條件等，我們討論了該系統解的存在唯一性，解的正則性。 (二)考慮其對應的受控系統的最優(yōu)

8、控制問題。 容許控制集：Uad()Lp(I，Y)，Uad是非空，有界，閉和凸的。 狀態(tài)方程： (Ⅱ){(x)(t)=Ax(t)+F(t，x(t)，(Gx)(t)+B(t)u(t)，t∈(0，T]\Dx(0)=x0△x(t)=Ji(x(ti))，i=1,2，……n 目標泛函： J(u)=∫T0l(t，xu(t)，u(t))dt+Ψ(xu(T))Bolza問題(P)：找一個u0∈Uad，使得(A)u∈