1、　　隨著科學技術的發(fā)展,在物理學、化學、數(shù)學、生物學、醫(yī)學、經(jīng)濟學、工程學、控制論等領域出現(xiàn)了各種各樣的非線性問題。由于其廣泛的應用背景和深刻的數(shù)學意義,這些非線性問題引起了許多學者的密切關注。目前,非線性泛函分析已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學中的一個重要分支。它為解決各種各樣的非線性問題提供了一個富有成效的理論工具。利用非線性泛函分析研究問題的主要方法有：拓撲度理論、臨界點理論、半序方法以及分析方法等。關于非線性泛函分析及其應用,國內外有許多優(yōu)秀的

2、專著(見[1,5,6])。
　　許多非線性問題可以通過轉化為相應的方程獲得研究,例如可以轉化為：微分方程、積分方程、積分-微分方程、差分方程及算子方程等其它類型的各種方程。奇異常微分方程的研究起源于各種應用學科,例如,核物理、氣體動力學、牛頓流體力學、邊界層理論、非線性光學等。在普通空間中,奇異微分方程的正解以及多個正解的存在性獲得了充分的研究,出現(xiàn)了一大批優(yōu)秀的成果。近十年來,抽象空間中的常微分方程理論已經(jīng)發(fā)展成為現(xiàn)代數(shù)學中的一

3、個新的重要的分支(見[4,11,12])。到目前為止,只有少數(shù)文獻在抽象空間中研究奇異微分方程。脈沖微分方程理論是近年來發(fā)展起來的另一個重要的研究分支([8,71]),其相應的理論尚需進一步的完善。本文的目的之一就是研究抽象空間中同時具有奇異性和脈沖的微分-積分方程解的存在性。
　　增算子不動點理論以及建立在其基礎之的上下解方法是研究各種非線性問題時經(jīng)常使用的基本方法之一。我們在使用傳統(tǒng)的上下解方法時通常要求相應的非線性算子是增算

4、子。無疑,當非線性算子在不具有增性條件時,如何使用上下解方法無論在理論上還是應用上都具有重要的意義。文[77]中,作者提出了極限增算子的概念,利用上下解方法在非線性算子滿足一定的條件時,獲得了算子方程解的存在性結果。本文的另一目的就是進一步研究極限增算子方程解的存在性。
　　本文中,我們利用拓撲度理論和有關非緊性測度的理論,在相對廣泛的條件下,研究了抽象空間中幾類微分方程正解及多解的存在性。特別的,我們還考慮了一類m-點邊值問題正

5、解的全局結構。本文的最后給出了極限增算子方程解的一些存在性結果。
　　本文共分四章。
　　第一章,我們討論了幾類奇異微分方程正解及多個正解的存在性。§1.2,考察了Banach空間中一階奇異混合型脈沖積分-微分方程正解的存在性。首先構造了一個特殊的非空閉凸集,然后利用M(？)nch不動點定理獲得了本節(jié)主要結果。在§1.3中,我們利用不動點指數(shù)理論,在Banach空間中針對一類奇異二階Neumann邊值問題的多個正解的存在性進