1、許多實(shí)際的物理問(wèn)題的求解都要?dú)w結(jié)為求微分方程的解，解的存在性問(wèn)題有許多種研究方法，如：不動(dòng)點(diǎn)方法、拓?fù)涠确椒ǖ?，而變分法已?jīng)得到了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注與應(yīng)用．17世紀(jì)后期，數(shù)學(xué)家們(他們也是物理學(xué)家)在探討用微積分解決更多物理問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)了一些新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如微分方程問(wèn)題，變分問(wèn)題等(見(jiàn)[37])．歷史上第一個(gè)變分問(wèn)題是由牛頓提出并解決的，他在巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》研究了在軸向以常速度運(yùn)動(dòng)而使運(yùn)動(dòng)阻力最小的旋轉(zhuǎn)曲面必須具有的形狀．169

2、6年Johann Bernoulli在《教師學(xué)報(bào)》上提出了著名的最速降線問(wèn)題，引起了許多數(shù)學(xué)家的興趣；后來(lái)，Newton，Leibniz，Johann Bernoulli以及他的哥哥JamesBernoulli得到了正確的解答．因此，Johann Bernoulli常被認(rèn)為是變分法的發(fā)明者．到了18世紀(jì)，Euler，Lagrange等人的工作，逐漸形成了一個(gè)解決數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)分支一一變分法． 所謂變分法就是把求方程的解歸結(jié)為

3、求對(duì)應(yīng)泛函在一定條件下的極值問(wèn)題或臨界點(diǎn)問(wèn)題．極小極大方法是變分學(xué)中的一個(gè)重要的方法．應(yīng)用極小極大方法研究橢圓偏微分方程的解的存在性時(shí)，可以用山路引理討論非平凡解的存在性，它是1973年由Ambrosetti A.與Rabinowitz P.H.得出的(見(jiàn)[3])，它形象地說(shuō)明，從盆地中心出發(fā)到盆地外部，必有一條道路從周圍山脈的最低點(diǎn)越過(guò)，這個(gè)最低點(diǎn)就是泛函的一個(gè)臨界點(diǎn)．山路引理以及各種山路定理的建立，特別是它們?cè)诜蔷€性微分方程各種問(wèn)題

4、的應(yīng)用中取得了許多很有意義的新結(jié)果，吸引了不少的數(shù)學(xué)家從事臨界點(diǎn)理論的研究，從而使臨界點(diǎn)理論及其應(yīng)用的成果在近20多年取得了重大的進(jìn)展．山路引理在解的存在性方面起了重要的作用，是一個(gè)很有用的定理．除了山路引理外還有環(huán)繞定理等都是研究解的存在性的重要定理．在研究方程多解性的時(shí)候，常常用到對(duì)稱山路引理、噴泉定理、還有指標(biāo)理論等．但是在研究微分方程解的時(shí)候需要一個(gè)很重要的條件，那就是(PS)c條件，這個(gè)緊性條件足應(yīng)用上述的定理所不可缺少的基本

5、條件． 根據(jù)Sobolev嵌入定理，當(dāng)Ω是RN中的有界區(qū)域時(shí)，嵌入映射W10p(Ω)→Lq(Ω)在1≤q

6、進(jìn)了集中緊性原理， (可見(jiàn)[35][36])，它是研究帶臨界指數(shù)的擬線性橢圓方程邊值問(wèn)題的重要工具．因?yàn)樗朔巳狈o性條件帶來(lái)的困難．除此之外，對(duì)稱性在研究變分問(wèn)題的時(shí)候也發(fā)揮了重要的作用．當(dāng)問(wèn)題對(duì)于正交變換群的作用是不變的時(shí)候，我們就可以考慮群作用的不變泛函來(lái)克服緊性．另外我們還可以根據(jù)對(duì)稱臨界性原理，即如果群作用在Hilbert空間上是等距的，而且微分方程所對(duì)應(yīng)的泛函對(duì)于群作用是不變的，則泛函在不動(dòng)點(diǎn)集上的臨界點(diǎn)就是整個(gè)空間的臨界

7、點(diǎn)，因此當(dāng)區(qū)域是無(wú)界的時(shí)候，可以通過(guò)構(gòu)造群作用，來(lái)考慮在不動(dòng)點(diǎn)集上的臨界點(diǎn)，從而克服了缺乏緊性帶來(lái)的困難． 在本文，我們主要采用變分法研究半線性橢圓型方程特征值問(wèn)題其中ΩС RN是包含原點(diǎn)，有光滑邊界的有界區(qū)域．Λ>0，2*(s)=2(N-s)/N-2,0≤s<2，0≤μ<-μ:=(N2-2/2)2，-μ是Hardy不等式C∫RNu2/｜x｜2dx≤∫RN｜△u｜2dx中的最佳常數(shù)，，滿足(H1)f ∈C(-Ω×R，R)，且存在

8、σ>0，當(dāng)00；(H2)lim｜t｜→∞f(x，t)/(｜t｜2*(t)-2t)=0，對(duì)A X ∈Ω一致成立．同時(shí)我們還考慮了一類帶臨界Sobolev指數(shù)的橢圓系統(tǒng)其中ΩС RN是—個(gè)有界的光滑區(qū)域，F(xiàn):Ω×R×R→R，(x，s，t)→ F(x，s，t)，F(xiàn)x=F/s，F(xiàn)t=F/t，2*=2N/N-2為臨界Sobolev指數(shù)，F(xiàn)滿足下列條件：(F1)F ∈C1(-ΩX R2，R+)，這里R+=

9、{x ∈R ｜x>0}．(F2)存在C1>0，2<Υ<2*使得｜Fs(x，s，t)｜+｜Ft(x，s，t)｜≤C1(｜s｜Υ-1+｜t｜Υ-1)．(F3)存在2<μ≤Υ使得對(duì)任意(x，s，t)∈-Ω×R2，有0<μF(x，s，t)≤ sFs(x，s，t)+tFt(x，s，t)． (F4)存在k0>1，0<ζ<1/N/2｜Ω｜-1使得對(duì)任意(x，s，t)∈-Ω×R2，有F(x,s,t)＞F(x，0，t)≥λk0/2t2-ζ-1/2

10、t2*．其中λk0幻是H10(Ω)上特征值問(wèn)題-△u=λu的第k0個(gè)特征值,S是Sobolev不等式中的最佳常數(shù)，｜Ω｜=∫Ω1dx．(F5)F(x，s，t)=F(x，-s，-t)．另外本文還考慮了一類帶權(quán)重臨界Sobolev指數(shù)的橢圓方程其中ΩС RN包含原點(diǎn)的有界光滑區(qū)域，0≤μ<(√-μ-α)2，-μ：=(N-2/2)2，0 ≤a<√-μ，a≤b

11、2*:=2N/N-2是臨界Sobolev指數(shù)． 本文共分五章： 第一章。介紹上述橢圓方程的研究背景． 第二章，介紹Sobolev空間的一些基本知識(shí)，基本引理以及一些記號(hào)說(shuō)明． 第三章，用集中緊性原理以及極小極大原理討論了(P1)的解的存在性．得到的結(jié)果是：在(H1)-(H2)的條件下，存在λ>0，對(duì)Aλ∈(0，λ*)，問(wèn)題(P1)有一個(gè)非平凡弱解uλ∈H10(Ω)，且滿足lim‖uλ‖=0． 第四