1、1987年，D.Tingley在[87]中提出如下問(wèn)題：設(shè)E，F(xiàn)是實(shí)賦范線性空間，S(E)和S(F)是E,F的單位球面。若T: S(E)→S(F)是一個(gè)滿(mǎn)等距映射(即 T(S(E))=S(F)且對(duì)于任意的x<,1>，x<,2>∈S(E)，都有‖Tx<,1>-Tx<,2>‖=‖x<,1>-x<,2>‖)，問(wèn)T能否延拓為E到F上的線性(或仿線性)等距映射。對(duì)于復(fù)空間的情形答案顯然是否定的．例：令E=F=C(復(fù)平面)且Tx=x即知。

2、這一問(wèn)題被許多數(shù)學(xué)工作者廣泛的研究[15，20，24，25，92-97]，并且已經(jīng)得到了一些漂亮的結(jié)果。然而，迄今為止，它仍然沒(méi)有被完滿(mǎn)的解決。在本文中，我們對(duì)于該問(wèn)題以及該問(wèn)題的一些拓展形式(主要是將Tingley問(wèn)題中的滿(mǎn)等距改為非滿(mǎn)等距)作了研究，得出了一些有意義的結(jié)論。 本文主要研究實(shí)賦范空間中的Tingley問(wèn)題，考慮單位球面間等距映射(滿(mǎn)或不滿(mǎn))能否線性延拓至全空間。我們將本文分為兩章。 第一章中，我們主要研

3、究了任意兩個(gè)實(shí)賦范空間E，F(xiàn)的單位球面S(E)和S(F)之間的任意映射能否延拓至全空間。得到了以下結(jié)果； 在第二章中，我們主要研究特殊類(lèi)型的賦范空間的單位球面間等距映射的線性延拓問(wèn)題。本章分為兩小節(jié)。 在2.1 節(jié)中，我們假設(shè)E，F(xiàn)都是實(shí)嚴(yán)格凸，光滑的自反空間。接下來(lái)我們構(gòu)造了相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)映射L′和L，它們分別將定義域空間E和值域空間F映為l<'∞>(Γ)的子空間。并且由此得到如下結(jié)論： E，F(xiàn)都是實(shí)嚴(yán)格凸，光滑

4、的自反空間，T:S(E)→S(F)是滿(mǎn)等距映射，則T可以延拓為全空間E 上的線性等距算子的一個(gè)充要條件是L(F)，L′(E)是l<'∞>(Γ)中的同一個(gè)線性子空間。 我們還構(gòu)造了相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)映射K，K′，它們分別將定義域空間E和值域空間F映為l<'∞>(Γ)的子空間。并且得到如下結(jié)論： E，F(xiàn)都是實(shí)嚴(yán)格凸，光滑的自反空間，T:S(E)→S(F)是非滿(mǎn)等距映射，則T可以延拓為全空間E上的線性等距算子的一個(gè)充要條件是K(E)