1、1834年8月，英國科學家羅素發(fā)現(xiàn)了孤立波自然現(xiàn)象。1895年，荷蘭阿姆斯特丹大學的數(shù)學家德弗里斯(G.de Vries)在導師柯特維格(D.J.Korteweg)的指導下，研究單方向運動的淺水波時，建立了描述羅素孤立波現(xiàn)象的數(shù)學模型KdV方程，從理論上肯定了孤立波解的存在性。1955年，美國物理學家費米(Enrico Fermi)，帕斯塔(John Pasta)和猶拉姆(Stan Ulam)提出的著名的FPU問題，對于發(fā)現(xiàn)孤立子提供了

2、第一個實驗依據(jù)．1965年，美圍Princeton大學應用數(shù)學家扎布斯基(N.J.Zabusky)和實驗室的克魯斯卡爾(M.D．Kruskal)發(fā)現(xiàn)了FPU問題中弦的位移滿足KdV方程，而且他們通過計算機模擬重現(xiàn)了孤立波相互作用時表現(xiàn)出類此于粒子的性質，并由此提出“孤立子”的概念。孤立子概念的提出證明了孤立波解的穩(wěn)定性。最近50多年來，人們利用計算機技術，在非線性光學中發(fā)現(xiàn)光孤子并應用于通信領域取得了成功。生物學中發(fā)現(xiàn)了達維多夫(Dav

3、ydov)孤立子，海洋學中發(fā)現(xiàn)了內孤立波．另外，在凝聚態(tài)物理、激光物理、超導物理、經(jīng)濟學、人口問題和醫(yī)學等諸多科學領域中相繼發(fā)現(xiàn)了光滑孤立子解、尖峰孤立子解和緊孤立子解等多種孤立子。孤立子理論的研究內容大斂分為以下兩類：⑴構造系統(tǒng)的求解方法：即構造和發(fā)展求解非線性方程的種系統(tǒng)的方法．這里指的非線性方程包括非線性偏微分方程，非線性常微分方程，非線性積分微分方程和非線性差分微分方程。對于許多非線性發(fā)展方程，已經(jīng)有了多種有效的求解方法，但是沒

4、有一種通用的方法。⑵解釋解的性質：研究解釋可積方程的代數(shù)和幾何的一系列美妙的性質．這里所說的可積方程是能夠轉化成線性方程的非線性方程對于研究解的性質方面一般有如下三個情況．第一種情況：當難以獲得顯示精確解時，分析研究非線性發(fā)展方程的適定性問題;第二種情況：利用計算數(shù)學的理論知識和計算機，對解進行模擬分析研究；第三種情況：利用試探法和構造變換法等數(shù)學技巧，獲得非線性發(fā)展方程的精確解。雖然以上三種研究方法的角度不同，但是目的都是解釋解的變化

5、規(guī)律。數(shù)學史研究數(shù)學概念、數(shù)學方法和數(shù)學思想的起源與發(fā)展，以及與社會政治、經(jīng)濟和一般的文化的聯(lián)系.1974年，吳文俊開始研究中國數(shù)學史．他在“古證復原”原則下，利用“反輝格”與“中西方數(shù)學對比”相結合的綜合性方法來研究中國傳統(tǒng)數(shù)學，揭開了中國數(shù)學的構造性和機械化性兩個特點．在此基礎上與計算機技術相結合發(fā)明了著名的“吳消元法”．吳文俊的工作成就是“古為今用”的典范.他提出的“新方法論”對于數(shù)學史和數(shù)學研究工作來說具有指導性和啟發(fā)性作用。構

6、造非線性發(fā)展方程的精確解是孤立子理論的重要研究課題之一．試探函數(shù)法與輔助方程法在構造非線性發(fā)展方程精確解領域發(fā)揮了非常重要的作用，已經(jīng)獲得了許多新成果。
　　 本文從“吳消元法”的發(fā)明得到啟示，利用“新方法論”對2009年以前的輔助方程法和試探函數(shù)法有關的大量文獻進行認真比較和仔細分析研究，獲得了這兩種方法的構造性和機械化性．在第四章中總結了試探函數(shù)法的構造性和機械化性兩大特點．在此基礎上，提出了新的試探函數(shù)法，構造了非線性連續(xù)

7、（離散）發(fā)展方程新的精確解。在第五章中首先通過對Riccati方程法等輔助方程法有關的大量文獻進行研究，梳理了輔助方程法的思想基礎和來源問題，總結了輔助方程法的四個應用步驟體現(xiàn)了該方法的構造性和機械化性兩大特點．在此基礎上，初步發(fā)揮輔助方程法的兩大特點，提出了三角函數(shù)型輔助方程法與雙曲函數(shù)型輔助方程法等新的方法，構造了非線性發(fā)展方程的新精確解：⑴把非線性發(fā)展方程轉化為非線性常微分方程的變換具有構造性；⑵輔助方程與非線性常微分方程的形式解

8、具有構造性；⑶非線性方程組的求解問題具有機械化性；⑷非線性發(fā)展方程解的驗證具有機械化性。理論上說：《非線性發(fā)展方程存在無窮多個解》。但是，輔助方程法有關的諸多博士（碩士）學位論文以及相關的文獻只獲得了有限多個精確解．木文為了獲得非線性發(fā)展方程的無窮序列精確解，挖掘輔助方程法的兩大特點的含義獲得了Riccati方程、第一種橢圓輔助方程、第二種橢圓輔助方程等幾種常用輔助方程的自B(a)cklund變換、擬B(a)cklund變換和解的非線性

9、疊加公式，構造了連續(xù)（離散）和變系數(shù)（常系數(shù)）非線性發(fā)展方程的多種類型的無窮序列新精確解。①單函數(shù)型無窮序列精確解。就是Jacobi橢圓函數(shù)、雙曲函數(shù)、三角函數(shù)和有理函數(shù)單獨構成的無窮序列新精確解．這里包括無窮序列光滑孤立波解、無窮序列尖峰孤立波解和無窮序列緊孤立子解．木文不僅獲得了K(m，n)方程、Degasperis-Procesi方程和CH方程的無窮序列尖峰孤立波解和無窮序列緊孤立子解，而且其他的非線性發(fā)展方程中也獲得了此類精確解