1、物理學(xué)中的電路問(wèn)題、彈性力學(xué)、天體力學(xué)、量子物理等領(lǐng)域中的許多問(wèn)題都可以歸結(jié)為解具有振蕩性質(zhì)的一階或二階的常微分方程（組）（ODEs）。本論文主要研究數(shù)值求解這類(lèi)振蕩常微分方程初值問(wèn)題（ⅣPs）Runge-Kutta（RK）型及Runge-Kutta-Nystrom（RKN型）保結(jié)構(gòu)方法。
　　 RK方法從提出至今已有百年的歷史，其主要用來(lái)求解一階常微分方程（組）的初值問(wèn)題（ⅣP）。二階常微分方程（組）當(dāng)然可以通過(guò)增加“速度”分

2、量方程而化為一階方程組，從而用RK方法求解。后來(lái)Nystrom提出了直接求解二階方程組的RKN方法。另一方面，20世紀(jì)60年代J.Butcher建立了根數(shù)（rootedtree）與B級(jí)數(shù)的理論，使得推導(dǎo)高價(jià)方法成為現(xiàn)實(shí)。最近的科學(xué)研究與工程應(yīng)用進(jìn)一步要求數(shù)值方法能夠保持系統(tǒng)原有的某些重要性質(zhì)（如系統(tǒng)的某些不變量，特別是Hamilton系統(tǒng)的辛性、Hamilton函數(shù)）。我們的工作重點(diǎn)就是針對(duì)振蕩微分方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)有效的數(shù)值方法，保

3、持精確解的定性行為。
　　 本論文分為四章。
　　 第一章概述了微分方程的基本概念，包括常微分方程（ODE）初值問(wèn)題解的存在唯一性，討論數(shù)值方法的相容性、收斂性、穩(wěn)定性，介紹了求解Hamilton系統(tǒng)的辛Runge-Kutta方法，以及求解振動(dòng)問(wèn)題的保結(jié)構(gòu)方法中最常用的技術(shù)之一-指數(shù)擬合。
　　 第二章提出了一類(lèi)新的RK型方法（我們將其記為RKNd），新方法的內(nèi)級(jí)有比傳統(tǒng)的RK方法更高一階的精度。在適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化假設(shè)

4、條件下利用階條件導(dǎo)出了級(jí)數(shù)為二的三種顯式和四種隱式的新方法，并對(duì)各個(gè)新方法的穩(wěn)定區(qū)域，色散階和耗散階進(jìn)行了分析。應(yīng)用這些方法求解一些典型的一階、二階問(wèn)題的數(shù)值結(jié)果顯示：新方法更適合于求解二階微分方程。
　　 第三章研究了與第二章所給出的新方法相應(yīng)的指數(shù)擬合型方法。我們推導(dǎo)出了方法的階條件，進(jìn)而給出了級(jí)數(shù)為二的三種指數(shù)擬合型方法，并對(duì)這三種方法的穩(wěn)定區(qū)域，色散階和耗散階進(jìn)行了分析。應(yīng)用這些方法求解一些典型的二階振蕩問(wèn)題所得到的數(shù)值

5、結(jié)果表明，指數(shù)擬合的這些新方法的計(jì)算效率明顯高于指數(shù)擬合的RK方法。
　　 第四章主要研究了求解Hamilton問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)辛指數(shù)擬合RKN方法。我們給出了修正RKN方法的對(duì)稱(chēng)性條件、辛性條件、指數(shù)擬合條件及代數(shù)階條件，并構(gòu)造了二級(jí)二階、三級(jí)二階，四級(jí)四階的新方法，對(duì)每個(gè)新方法的周期穩(wěn)定區(qū)域，色散階和耗散階進(jìn)行了分析。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本章的對(duì)稱(chēng)辛指數(shù)擬合RKN方法與非對(duì)稱(chēng)方法在計(jì)算效率和保持Hamilton函數(shù)值方面相比具有明顯