1、Catalan序列Cn=1/n+1(2nn)在組合數學中出現(xiàn)非常頻繁。人們已經發(fā)現(xiàn)了差不多100種結構可以由這些數來計數,并且新的能由Catalan數計數的組合結構的發(fā)現(xiàn)也從未停止。另外,關于Catalan數的數字特征及性質的研究也廣泛存在于文獻資料中。比如,它們之間的各種遞推關系,模關系以及因子等等。 在這篇論文緊接著介紹部分的頭兩章,我們將對推廣的Catalan數Ck,r(n)=r/kn+r(kn+rn)以及其向量形式的推廣

2、做一些研究。我們首先直接從Lagrange反演定理推導出一個Catalan數向量推廣形式滿足的卷積并給予應用。接著,我們給出一個染色k叉樹上的對合,并且從這個對合我們證明了一組符號交替變化的含有推廣的Catalan數及其向量推廣形式的恒等式。最后,根據得到的恒等式和Riordan陣列理論,我們重新提煉出k叉樹的計數公式和非常漂亮且重要的Gould-Vandermonde卷積公式Fibonacci序列Fn是滿足條件Fn=Fn-1+Fn-2

3、和F0=0,F1=1的序列,它是組合數學中另一個極為重要的序列。人們發(fā)現(xiàn)這些數和自然界有著密切的聯(lián)系。在本文最后一章,我們研究一組類Fibonacci序列Gn,它們滿足遞推關系:Gn=(d+2)Gn-1-Gn-2。注意當d=1和適當初始條件,我們分別得到Cn=F2n,n＞1和Gn=F2n+1,n＞0.對這一類序列及其相關性質,我們將用-類有序樹給出組合描述解釋。同時,我們還將給出與這類序列相關的組合結構之間的雙射以及研究與其相關的其他序