1、可積耦合系統(tǒng)是現(xiàn)代非線性學科的一個熱門研究內(nèi)容，利用它能推導(dǎo)出許多有實際研究價值的非線性演化方程。目前學者們從反對稱矩陣李代數(shù)的角度出發(fā)，基本都是圍繞著2×2矩陣譜問題進行研究，而對4×4矩陣譜問題的研究工作討論的還比較少。達布變換是求解非線性孤子方程的一種常用工具，學者們基本都是圍繞著一般的方程族進行研究，而對復(fù)雜的3×3薛定諤方程，超可積方程的達布工作討論的還比較少。針對上述的問題，本文主要的研究內(nèi)容如下：
　　在第二章中,巧

2、妙利用6個基元獲得新的loop代數(shù)，將2×2 AKNS方程族的Lax對擴張成4×4 AKNS方程族的Lax對，進而獲得其可積耦合系統(tǒng)。首先，構(gòu)建一個4×4的反對稱李代數(shù)。然后，利用伴隨零曲率方程獲得遞推算子L，選定合適的初始值帶入遞推方程中，得到一個新的可積耦合方程族和廣義的AKNS方程。最后，應(yīng)用跡恒等式和屠格式，成功地建立了擴張的AKNS方程族的Hamiltonian結(jié)構(gòu)。
　　目前學者們從反對稱矩陣李代數(shù)的角度出發(fā)，基本都是

3、圍繞著1+1維可積系統(tǒng)進行研究，而對2+1維可積系統(tǒng)的研究工作討論的還比較少。我們針對一個2+1維AKNS方程的等譜問題，利用伴隨零曲率方程獲得相應(yīng)的遞推方程，選定恰當?shù)某跏贾?，?yīng)用屠格式，得到一個新的2+1維AKNS方程族。
　　在第三章中,首要先探索復(fù)雜的3×3矩陣譜問題的達布變換及求解，將從3×3矩陣的譜問題著手，構(gòu)建耦合非線性薛定諤方程的達布變換。接著主要圍繞著超可積方程的Lax對，以超AKNS方程，超Dirac方程的等譜