1、三維流形拓?fù)淅碚撌堑途S拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)重要分支.從三維流形的組合結(jié)構(gòu)出發(fā),通過三維流形中的一些曲面(如Heegaard曲面、不可壓縮曲面及正則曲面等),把復(fù)雜的幾何對(duì)象化解為若干簡(jiǎn)單對(duì)象進(jìn)行研究,進(jìn)而了解三維流形的拓?fù)湫再|(zhì)和幾何結(jié)構(gòu),這是三維流形研究中的重要方法.本文主要討論了柄體在平環(huán)中嵌入的極大組及三維流形Heegaard分解的若干性質(zhì)的問題，通過對(duì)極大組個(gè)數(shù)的研究，通過對(duì)Heegaard分解的若干性質(zhì)與流形關(guān)系的分析，給出了某些三維流

2、形及其中一些曲面的拓?fù)湫再|(zhì)，對(duì)深入認(rèn)識(shí)這些三維流形的幾何結(jié)構(gòu)起到了推動(dòng)的作用。
　　眾所周知，柄體是相對(duì)簡(jiǎn)單的一種三維流形，但作為Heegaard分解的組成因子，其重要性又是不言而喻的.對(duì)真嵌入在柄體內(nèi)的不可壓縮曲面極大組的討論是本文的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).本質(zhì)圓片在柄體中嵌入極大組的個(gè)數(shù)是人們?cè)缇椭赖?本文主要考察的是柄體內(nèi)本質(zhì)平環(huán)極大組的嵌入的個(gè)數(shù)問題.這個(gè)問題最早由Rubinstein和Scharlemann解決了虧格為2的柄體內(nèi)平

3、環(huán)極大組的個(gè)數(shù)，它可能是1，2或3.在這之后F.C.Lei和J.Y.Tang又對(duì)Hn(n≥3)中的本質(zhì)平環(huán)組給出了上界4n?5，而且這個(gè)界是最好的估計(jì).
　　而在此基礎(chǔ)上，本文工作的第一部分首先給出了真嵌入在柄體內(nèi)平環(huán)的極大組的個(gè)數(shù)的一個(gè)最好的下界的估計(jì)，結(jié)論為：令Hn是一個(gè)虧格n≥3的柄體，則在Hn內(nèi)存在一個(gè)只包含兩個(gè)平環(huán)的最大本質(zhì)平環(huán)組.接著本文對(duì)上下界之間的每一種可能的情況都構(gòu)造出了相應(yīng)的例子，即下面的結(jié)論：令Hn是一個(gè)虧格

4、n≥3的柄體，對(duì)每一個(gè)m,2≤m≤4n?5,都存在Hn中包含m個(gè)平環(huán)的最大組。
　　作為研究三維流形幾何結(jié)構(gòu)和拓?fù)湫再|(zhì)的一種重要工具，Heegaard分解理論在近幾十年中得到長(zhǎng)足的發(fā)展，在三維流形的一些問題的解決中也發(fā)揮了重要的作用.近幾年Hempel提出了Heegaard分解距離的概念，這個(gè)概念一經(jīng)提出馬上引起了拓?fù)鋵W(xué)家的關(guān)注，它不僅是Heegaard分解可約、弱可約以及不交曲線性質(zhì)這些概念的一個(gè)推廣，更為重要的是它在人們研究不

5、可壓縮曲面、流形融合及扭結(jié)的隧道數(shù)等等方面也有很多應(yīng)用，開展對(duì)它及相關(guān)的一些Heegaard性質(zhì)的研究對(duì)于認(rèn)識(shí)三維流形拓?fù)湫再|(zhì)而言具有相當(dāng)重要的理論意義.
　　本文工作的第二部分就是主要對(duì)Heegaard分解的一些性質(zhì)做了深入系統(tǒng)的研究，首先推廣了Thompson的一個(gè)結(jié)果，給出了Heegaard分解滿足不交曲線性質(zhì)的一個(gè)充分條件.接著討論Heegaard分解的雙經(jīng)線性質(zhì)和不交經(jīng)線性質(zhì).分析了Heegaard分解雙經(jīng)線性質(zhì)與本質(zhì)圓