函數(shù)對(duì)稱(chēng)性、周期性和奇偶性的規(guī)律總結(jié)大全_第1頁(yè)
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1、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性、周期性和奇偶性規(guī)律函數(shù)對(duì)稱(chēng)性、周期性和奇偶性規(guī)律一、同一函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題(即函數(shù)自身)1、周期性:對(duì)于函數(shù),如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有)(xfy?都成立,那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù),不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周)()(xfTxf??)(xfy?期。如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù),就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周期最小正周期。2、對(duì)稱(chēng)性定義(略),請(qǐng)用圖形來(lái)理解。3、對(duì)稱(chēng)性:我

2、們知道:偶函數(shù)關(guān)于y(即x=0)軸對(duì)稱(chēng),偶函數(shù)有關(guān)系式)()(xfxf??奇函數(shù)關(guān)于(0,0)對(duì)稱(chēng),奇函數(shù)有關(guān)系式0)()(???xfxf上述關(guān)系式是否可以進(jìn)行拓展?答案是肯定的探討:(1)函數(shù)函數(shù)關(guān)于關(guān)于對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng))(xfy?ax??)()(xafxaf???也可以寫(xiě)成或)()(xafxaf???)2()(xafxf??)2()(xafxf???簡(jiǎn)證:簡(jiǎn)證:設(shè)點(diǎn)在上,通過(guò)可知,)(11yx)(xfy?)2()(xafxf??,即點(diǎn)上,而

3、點(diǎn)與點(diǎn))2()(111xafxfy???)()2(11xfyyxa??也在)(11yx關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)。得證。)2(11yxa?若寫(xiě)成:若寫(xiě)成:,函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì))()(xbfxaf???)(xfy?22)()(baxbxax??????稱(chēng)(2)函數(shù)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng))(xfy?)(ba?bxafxaf2)()(????或bxfxaf2)()2(????上述關(guān)系也可以寫(xiě)成bxfxaf2)()2(???簡(jiǎn)證:簡(jiǎn)證:設(shè)點(diǎn)在上,即,通過(guò)可知

4、,)(11yx)(xfy?)(11xfy?bxfxaf2)()2(???,所以,所以點(diǎn)bxfxaf2)()2(11???1112)(2)2(ybxfbxaf?????也在上,而點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)。得)22(11ybxa??)(xfy?)22(11ybxa??)(11yx)(ba證。若寫(xiě)成:若寫(xiě)成:,函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)cxbfxaf????)()()(xfy?)22(cba?(3)函數(shù)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng):假設(shè)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng),即關(guān)于任一個(gè)值,都有

5、兩個(gè)y)(xfy?by?by?x值與其對(duì)應(yīng),顯然這不符合函數(shù)的定義,故函數(shù)自身不可能關(guān)于對(duì)稱(chēng)。但在曲線(xiàn)c(xy)=0,by?則有可能會(huì)出現(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng),比如圓它會(huì)關(guān)于y=0對(duì)稱(chēng)。by?04)(22????yxyxc4、周期性:(1)函數(shù)滿(mǎn)足如下關(guān)系系,則)(xfy?Txf2)(的周期為A、B、)()(xfTxf???)(1)()(1)(xfTxfxfTxf?????或換種說(shuō)法:與若滿(mǎn)足,即它們關(guān)于對(duì)稱(chēng)。)(xfy?)(xgy?axgxf2)

6、()(??ay?5、關(guān)于點(diǎn)(ab)對(duì)稱(chēng)。)2(2)(xafbyxfy????與換種說(shuō)法:與若滿(mǎn)足,即它們關(guān)于點(diǎn)(ab)對(duì)稱(chēng)。)(xfy?)(xgy?bxagxf2)2()(???6、與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。)(xafy??)(bxy??2bax??7、函數(shù)的軸對(duì)稱(chēng):定理1:如果函數(shù)滿(mǎn)足,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)??xfy?????xbfxaf?????xfy?2bax??稱(chēng).推論1:如果函數(shù)滿(mǎn)足,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).??xfy?????xa

7、fxaf?????xfy?ax?推論2:如果函數(shù)滿(mǎn)足,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)(y軸)對(duì)稱(chēng).特??xfy?????xfxf????xfy?0?x別地,推論2就是偶函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理1的簡(jiǎn)化.8、函數(shù)的點(diǎn)對(duì)稱(chēng):定理2:如果函數(shù)滿(mǎn)足,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)??xfy?????bxafxaf2??????xfy???ba稱(chēng).推論3:如果函數(shù)滿(mǎn)足,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).??xfy?????0????xafxaf??xfy???0a推論4

8、:如果函數(shù)滿(mǎn)足,則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).特別地,??xfy?????0???xfxf??xfy???00推論4就是奇函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理2的簡(jiǎn)化.三、總規(guī)律:定義在R上的函數(shù),在對(duì)稱(chēng)性、周期性和奇偶性這三條性質(zhì)中,只要有兩條存在,則第三??xfy?條一定存在。四、試題1已知定義為R的函數(shù)滿(mǎn)足,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.如果??xf????4????xfxf??xf????2,且,則的值(A).212xx??421??xx???

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