1、第 12 講 二次函數(shù)的圖象與性質 二次函數(shù)的圖象與性質一、 一、 知識清單梳理 知識清單梳理知識點一：二次函數(shù)的概念及解析式 知識點一：二次函數(shù)的概念及解析式 關鍵點撥與對應舉例 關鍵點撥與對應舉例1.一次函數(shù)的定義形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c 是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).例：如果函數(shù) y=(a－1)x2 是二次函數(shù)，那么 a 的取值范圍是 a≠0.2.解析式（1）三種解析式：①一般式

2、：y=ax2+bx+c;②頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函數(shù)的頂點坐標是（h,k）; ③交點式：y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 為拋物線與 x 軸交點的橫坐標.（2）待定系數(shù)法：巧設二次函數(shù)的解析式；根據(jù)已知條件，得到關于待定系數(shù)的方程（組） ；解方程（組） ，求出待定系數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析式.若已知條件是圖象上的三個點或三對對應函數(shù)值，可設一般式；若已知頂點坐標或對稱軸方程與最值，可設頂點式

3、；若已知拋物線與 x 軸的兩個交點坐標，可設交點式.知識點二 知識點二 ：二次函數(shù)的圖象與性質 ：二次函數(shù)的圖象與性質圖象xyy=ax2+bx+c(a上 0)Oxyy=ax2+bx+c(a上 0)O開口 向上 向下對稱軸 x＝ 2ba ?頂點 坐標2 4 , 2 4b ac ba a? ? ? ? ? ?? ?增減性當 x> 時，y 隨 x 的增大而增 2ba ?大；當 x＜ 時，y 隨 x 的增大而2ba ?減小 減小

4、.當 x> 時，y 隨 x 的增大而減 2ba ??。划?x＜ 時，y 隨 x 的增大 2ba ?而增大 增大.3.二次函數(shù)的圖象和性質最值 x= ， y 最?。?. 2ba ?2 44ac ba? x= ， y 最大＝ . 2ba ?2 44ac ba?（1）比較二次函數(shù)函數(shù)值大小的方法：①直接代入求值法；②性質法：當自變量在對稱軸同側時，根據(jù)函數(shù)的性質判斷；當自變量在對稱軸異側時，可先利用函數(shù)的對稱性轉化到同側，再利用性質比較

5、；④圖象法：畫出草圖，描點后比較函數(shù)值大小.失分點警示 失分點警示（2）在自變量限定范圍求二次函數(shù)的最值時，首先考慮對稱軸是否在取值范圍內，而不能盲目根據(jù)公式求解.例：當 0≤x≤5 時，拋物線y=x2+2x+7 的最小值為 7 .a決定拋物線的開口方向及開口大小當 a＞0 時，拋物線開口向上；當 a＜0 時，拋物線開口向下.a、 b 決定對稱軸（x=-b/2a）的位置當 a，b 同號，-b/2a＜0，對稱軸在 y 軸左邊； 當 b＝

6、0 時， -b/2a=0，對稱軸為 y 軸；當 a，b 異號，-b/2a＞0，對稱軸在 y 軸右邊．c決定拋物線與 y 軸的交點的位置當 c＞0 時，拋物線與 y 軸的交點在正半軸上； 當 c＝0 時，拋物線經(jīng)過原點；當 c＜0 時，拋物線與 y 軸的交點在負半軸上.3.系數(shù)a、b、cb2－4ac決定拋物線與 x 軸的交點個數(shù)b2－4ac＞0 時，拋物線與 x 軸有 2 個交點;b2－4ac＝0 時，拋物線與 x 軸有 1 個交點;某

7、些特殊形式代數(shù)式的符號：① a±b+c 即為 x=±1 時，y的值；②4a±2b+c 即為 x=±2 時，y 的值.③ 2a+b 的符號，需判斷對稱軸-b/2a 與 1 的大小.若對稱軸在直線 x=1 的左邊，則-b/2ab2－4ac＜0 時，拋物線與 x 軸沒有交點 ＞1，再根據(jù) a 的符號即可得出結果.④2a-b 的符號，需判斷對稱軸與-1 的大小.知識點三 知識點三 ：二次函數(shù)的平移 ：二次

8、函數(shù)的平移4.平移與解析式的關系上 上 |k|上 上 上 上 上 |h|上 上 上上 上 (k上 0)上 上 上 (k上 0) 上 上 (h上 0)上 上 上 (h上 0)y=a(x上 h)2上 k上 上 上y=a(x上 h)2上 上 上y=ax2上 上 上注意 注意：二次函數(shù)的平移實質是頂點坐標的平移，因此只要找出原函數(shù)頂點的平移方式即可確定平移后的函數(shù)解析式失分點警示： 失分點警示：拋物線平移規(guī)律是“上加下減，左加右減”,左右平移易

9、弄反.例：將拋物線 y=x2 沿 x 軸向右平移 2 個單位后所得拋物線的解析式是 y=（x－2）2．知識點四 知識點四 ：二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式 ：二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式5.二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù) y=ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與 x 軸交點的橫坐標是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根. 當 Δ＝b2－4ac＞0，兩個不相等的實數(shù)根； 當 Δ＝b2－4ac＝0，兩個相等的實數(shù)根；當 Δ＝b2－4