1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻綜述</b></p><p><b>　　數學與應用數學</b></p><p>　　數學分析中的若干數學思想 </p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　數學分析是高等師范院校數學專業(yè)的主干基礎課,

2、內容十分豐富, 課時多, 它是學習常微分方程, 復變函數, 實變函數, 概率論與數理統(tǒng)計學等后繼課程的階梯, 也是深入理解中學數學的必要基礎。數學分析因為其內容的廣泛性與深刻性, 包含著多種數學思想與方法。要學好這門課程, 就要學習其中的數學思想，這對數學系的師生是件很重要的事情, 它直接影響學生的思維能力的培養(yǎng)與提高關系著我們培養(yǎng)的學生能否適應社會的需要, 勝任他們所從事的工作的大問題。</p><p>　　數

3、學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識；基本數學思想則是體現或應該體現于基礎數學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數學思想，它們含有傳統(tǒng)數學思想的精華和現代數學思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。</p><p>　　數學思想是對數學知識的本質認識，是對數學規(guī)律的理性認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中

4、提煉上升的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想，它在拓廣數學知識過程中隊方法、技巧起著統(tǒng)攝作用。通過數學思想的培養(yǎng)，數學的能力才會有一個大幅度的提高。</p><p><b>　　主題部分</b></p><p>　　數學分析的發(fā)展經歷了艱難的開始，從牛頓萊布尼茨建立了微積分的基本方法，并將其應用到各種問題的解決

5、中去取得了很好的效果，緊接著，受到包括神學家及一些數學家的質疑，由此引發(fā)了史上第二次數學危機；到柯西研究前人的理論，將微積分嚴密化，并發(fā)展了成熟的函數論，極限論，進行級數收斂性的研究，之后，魏爾斯特拉斯又將數學分析算數化，建立了實數論，至此，數學分析的基礎全部打好，第二次數學危機順利解決。</p><p>　　《數學分析》作為數學系最重要的基礎課之一，數學科學的邏輯性和歷史繼承性決定了數學分析在數學科學中舉足輕重

6、的地位，數學的許多新思想，新應用都源于這堅實的基礎。數學分析出于對微積分在理論體系上的嚴格化和精確化，從而確立了在整個自然科學中的基礎地位，并運用于自然科學的各個領域。</p><p>　　數學分析中包含著豐富的數學思想，課程目的是訓練學生的邏輯思維等理性思維能力、邏輯表述能力和培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)，尊重學生在學習中的主體精神，注重加強學生數學素質的培養(yǎng)，提高學生創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力。</p>

7、;<p>　　文獻[1]是歷史的一個概述，該書論述了從古代一直到20世紀頭幾十年的重大數學創(chuàng)造和發(fā)展，目的是介紹中心思想，特別著重于那些在數學歷史中的主要時期中逐漸冒出來并成為最突出的、并且對于促進和形成爾后的數學活動有影響的主流工作。本書所關心的還有：對數學本身的看法，不同時期中這種看法的改變，以及數學家對于他們自己的成就的理解。</p><p>　　文獻[2]分五個時段講述了數學的起源和早期發(fā)展

8、、中世紀的數學、近代數學、現代數學、現代中國數學。該書主要研究數學科學發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律的科學，簡單地說就是研究數學的歷史。它不僅追溯數學內容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數學科學的發(fā)展對人類文明所帶來的影響。因此，該書不僅包括了具體的數學內容，而且還涉及歷史學、哲學、文化學、宗教等社會科學與人文科學內容。</p><p>　　從該書中，我們可以看到數學思想、方法、理論、

9、概念的演變史，數學科學與人類社會的互動關系，還有數學思想的傳播與交流史等。 </p><p>　　文獻[3]是一本論述數學的精神、數學的思想和數學的方法的著作。而數學的精神、思想和方法卻是創(chuàng)造數學著作、發(fā)現新的東西，使數學得以不斷地向前發(fā)展的根源。該書敘述了貫穿在整個數學中的精神、思想和方法的主要內容，該書認為而這種精神、思想、方法之間又是不能截然地分開的，就是說，通過精神活動產生思想，為了實現思想而研究出方法，

10、作為其結果，就得出了許多數學定理、法則和公式，而在實際中，由于這些思想、方法促進新精神的活動，新精神的活動又進一步產生出新思想、新方法。</p><p>　　文獻[4]是一部近代的數學名著，一直受到數學界的推崇。作為Rudin的分析學經典著作之一，該書在西方各國乃至我國均有著廣泛而深遠的影響，被許多高校用做數學分析課的必選教材。該書涵蓋了高等微積分學的豐富內容，最精彩的部分集中在基礎拓撲結構、函數項序列與級數、多

11、變量函數以及微分形式的積分等章節(jié)。</p><p>　　文獻[5]筆者通過緒論試圖描述數學基本輪廓，勾畫數學全貌。第一、二章分別介紹古代（17世紀初期以前）的近代（17世紀中期~19世紀中期）重要數學思想和有影響的數學哲學思想。第三章介紹現代（19世紀末期以來）主要數學分支的思想發(fā)展。第四章是現代數學基礎和數學哲學簡介。本書介紹了古代、近代重要的數學思想和有影響的數學哲學思想 論述了主要數學分支的思想發(fā)展和現代數

12、學基礎。</p><p>　　文獻[6]是大學數學分析課程的輔導用書，內容涉及極限、連續(xù)性、導數與微分、定積分、無窮級數與無窮乘積、多元微分學、多元積分學以及含參變量積分。該書對較基礎性的知識點，只是簡要地加以介紹，而將重點放在解題思路的挖掘與提煉上。該書是作者十余年數學分析選論課程教學實踐的結晶，其中不乏許多創(chuàng)新性的見解。</p><p>　　文獻[7]詳盡地分析了基本理論的難點，對抽象

13、化的問題進行了具體化合幾何直觀的說明，對重點內容的意義及應留意的事項作了較多的注釋，該書例題的選取也具有典型性、實用性、新穎性。另外，該書較細致地介紹了一些一般教科書中難以展開討論的問題。</p><p>　　文獻[8]作者認為數學分析的基礎是實數理論，實數系最重要的特征是連續(xù)性,有了實數的連續(xù)性,才能討論極限,連續(xù),微分和積分。正是在討論在函數的各種極限運算的合法性的過程中,人們逐漸建立起嚴密的數學分析理論體系

14、。作者對數學分析內容中體現的函數思想、極限思想、連續(xù)思想、導數思想、微分思想、積分思想、級數思想的認識與應用進行一般性的分析和探討。</p><p>　　文獻[9]借助實例, 初步探討了分段法在《數學分析》解題方面巧妙的運用，并進一步論述了分段思想在數學領域的重要性。作者認為分段與結合和哲學中部分與整體有異曲同工之妙，面對一大題，通過分段的方法將其部分化，理解其中千絲萬縷的細枝末節(jié)，剖析問題本質，統(tǒng)籌處理。分段思

15、想有助于培養(yǎng)邏輯思維能力。在解決數學問題時，借助分段法，從思想上也有一種邏輯感。</p><p>　　文獻[10]作者認為反例教學是一種簡潔，明晰的教學輔助方法，它體現了數學發(fā)現，化歸，猜想，實驗，歸納等思想，它對理解數學分析的概念與原理都有極其重要的作用。作者從反例的類型，反例的構造方法，反例的作用三個方面進行探討，對數學分析中的反例進行了比較系統(tǒng)的分析，總結了幾個構造反例常見的方法。</p>&

16、lt;p>　　文獻[11]作者認為輔助函數法是數學證明中經常使用的一種非常有用的方法，是數學解題中構造的輔助問題的一種，構造輔助函數是將原來的數學問題轉化為容易解決的輔助函數問題。這一構造過程是一個從特殊到一般的過程，而運用輔助函數返回去解決原數學問題又是一個從一般到特殊的過程。本文講述了輔助函數的基本特點及構造原則、幾種構造輔助函數的方法應用（原函數法、參數變易法、泰勒公式法、常數k 值法、微分方程法）。</p>

17、<p>　　文獻[12]本文主要講述了形式主義思想方法及其歷史淵源、對立統(tǒng)一思想方法及其歷史淵源、兩種思想方法的相互關系及作用。作者認為數學思想方法源于人類的社會實踐與數學活動，數學思想方法與哲學思想方法有著密切的關系。由于哲學思想方法有唯心主義、形而上學與唯物主義、辯證法之分,因此,與其相對應,數學思想方法就有形式主義與對立統(tǒng)一之別。它們是相輔相成、缺一不可的，正是由于它們的密切配合與相互作用,才使數學得到了持續(xù)不斷的發(fā)展。

18、其中對立統(tǒng)一的思想方法側重于突破與創(chuàng)新;而形式主義的思想方法則側重于整理與表達。</p><p>　　文獻[13]作者認為教師在傳授數學基礎知識加強基本點技能訓練的時候,更要挖掘數學思想方法，本文從唯物辯證法的思想、數學模型化的思想、類比推理思想、函數與方程思想、數形結合思想、分類思想、轉化思想、嚴格的邏輯推理方法、概念法、對稱性方法這十個方面講述了數學思想方法。</p><p>　　文獻

19、[14]首先簡單的介紹數學思想方法的涵義,接著具體地概括了數學分析中的數學思想方法,并指出了數學思想方法在數學分析中的重要意義.同時根據數學分析的教學經驗,給出加強數學思想方法的教學建議。</p><p>　　文獻[15]作者認為數學分析是大學數學系最重要的一門基礎課, 內容多, 理論深, 應用廣, 方法雜。因此, 解剖分析它的知識結構, 探索它的教學原則和教學方法是極為重要的。本文作者根據自己多年的教學體會從數

20、學分析的知識結構、數學分析思想方法、數學分析中常用的一些方法三方面進行探索。</p><p>　　文獻[16]作者按數學的三大版塊———代數、幾何和分析按章依次加以闡述，對思想和方法的基本研究。在相對淺顯的字里行間，滲透著思想骨架，即數學的學科性。全書從自然數談起，然后引申到數論和數系的擴充，直到集合這個最一般的客體。又轉入幾何作圖，并與數域代數聯(lián)系在一起。后面，作者從射影幾何、非歐幾何一直談到拓撲學。最后重點闡

21、述微積分及其應用。</p><p><b>　　三、總結部分</b></p><p>　　數學分析是一門重要的大學基礎課程, 很多后繼課程都以它為基礎, 可視為它的延伸、深化和應用, 而它的基本思想和方法更是無所不在。因此熟練地運用它的基本方法, 透徹地理解它的基本思想, 是學習數學的關鍵，同時也是深入理解初等數學理論背景的必要基礎。只有掌握了數學思想方法，才能深刻體

22、會數學的本質，從而具備解決實際問題的數學意識和思維方法。數學思想方法在科學研究中具有舉足輕重的地位和作用，具體體現在：能提供簡潔精確的形式化語言；能提供數量分析及計算的方法；能提供邏輯推理的工具。因此它具有普遍性和可操作性。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 克萊因．古今數學思想[M].上海：上?？茖W技術出版社,1979．<

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