1、<p>　　學校代碼：11517</p><p>　　學 號：200911002104</p><p>　　HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING</p><p>　　______________________________________________________________________________<

2、;/p><p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　題 目 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 </p><p>　　學生姓名 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學0941班 </p><

3、;p>　　學 號 200911002104 </p><p>　　系 （部） 理學院 </p><p>　　指導教師(職稱) （講師） </p><p>　　完成時間 2013年 5月20日

4、 </p><p>　　河南工程學院論文版權使用授權書</p><p>　　本人完全了解河南工程學院關于收集、保存、使用學位論文的規(guī)定，同意如下各項內容：按照學校要求提交論文的印刷本和電子版本；學校有權保存論文的印刷本和電子版，并采用影印、縮印、掃描、數(shù)字化或其它手段保存論文；學校有權提供目錄檢索以及提供本論文全文或者部分的閱覽服務；學校有權按有關規(guī)定向國家有關部門或者機構送交論文的復印件

5、和電子版；在不以贏利為目的的前提下，學校可以適當復制論文的部分或全部內容用于學術活動。</p><p><b>　　論文作者簽名：</b></p><p>　　年 月 日 </p><p>　　河南工程學院畢業(yè)設計(論文)原創(chuàng)性聲明</p><p>　　本人鄭重聲明：所呈交的論文，是本人在指導教師指導下，進行研

6、究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內容外，本論文的研究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、已公開發(fā)表或者沒有公開發(fā)表的作品的內容。對本論文所涉及的研究工作做出貢獻的其他個人和集體，均已在文中以明確方式標明。本學位論文原創(chuàng)性聲明的法律責任由本人承擔。</p><p>　　論文作者簽名： </p><p>　　年 月 日</p><p><b>　

7、　河南工程學院</b></p><p>　　畢業(yè)設計（論文）任務書</p><p>　　題目 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 </p><p>　　專業(yè) 信息與計算科學 學號 200911002104 姓名 </p><p>　　主要內容：Cavalcanti M M,Domi

8、ngos Cavalcanti V N ,Ferrira J已經(jīng)研究過方程</p><p>　　， （1.1）</p><p><b>　　具有初邊值，.</b></p><p>　　他們得出松弛函數(shù)以指數(shù)形式衰減時，得到了能量的一致衰減。</p><p>　　Tater N,Messaoudi S A研

9、究過如下方程</p><p>　　, （1.2）</p><p>　　初邊值條件同（1.1），用改進的位勢井方法得出了整體解的存在性且能量以指數(shù)形式衰減。</p><p><b>　　吳舜堂研究了方程</b></p><p>　　， （1.3）</p><p><b>

10、　　劉文俊研究了方程</b></p><p>　　， （1.4）</p><p>　　受上述文獻的啟發(fā)，本文擬研究如下方程</p><p><b>　?。?.5）</b></p><p><b>　　具有初邊值 </b></p><p>　　以Sobo

11、lev空間基礎知識為工具，利用衰減估計方法對非線性粘彈性方程解的存在性進行了研究。</p><p>　　基本要求：扎實的英語和數(shù)學功底，非常熟悉數(shù)學分析的知識，熟練掌握word,maple 等數(shù)學工具。</p><p><b>　　主要參考資料：</b></p><p>　　[1]Cavalcanti M M,Domingos Cavalcan

12、ti V N ,Ferrira J. Existence and uniform decay for a nonlinear viscoalastic equation with strong damping [M].2001 .</p><p>　　[2]Tater N,Messaoudi S A. Exponential and polynomial decay for a quasilinear visco

13、elastic equation[M]Nonlinear Analysis,2008(68)785-793</p><p>　　[3]韓小森，王明新，帶非線性阻尼的粘彈方程解的整體存在性和一致衰減性，[M].2009</p><p>　　[4]Shuntang Wu.General decay of solutions for a viscoelastic equation with &l

14、t;/p><p>　　nonlinear damping and source terms [M].2011.</p><p>　　[5]Xiaosen Han,Mingxin Wang,General decay of energy for a viscoelastic equat ion with nonlinear damping [M].2009</p><p>

15、;　　[6]Wenjun Liu. Exponential or polynomial decay of solutions to a viscoelastic equation with nonlinear localized damping [M].2010.</p><p>　　[7]同濟大學數(shù)學系主編，高等數(shù)學[M].高等教育出版社，1979.</p><p>　　[8]張全德，非

16、線性波動方程整體解的存在性與唯一性[J].陜西師大學報(自然科學版),20(1992)81—82.</p><p>　　[9]Messaoudi A,Berrimi S. Existence and decay of solutions of a viscoalastic equ ation with a nonlinear source[M].Nonlinear Analysis,2006,2314-2331&

17、lt;/p><p>　　[10]Tater N,Messaoudi S A. Global existence and uniform stability of solutions for a quasilinear viscoelastic problem. [M].</p><p>　　[11]苗長興 非線性波動方程的現(xiàn)代方法[M].2005.</p><p>　　

18、[12]Lions J L,Strauss W A. Some nonlinear evolution equations[M]. 1965(01).</p><p>　　[13]Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differe ntial Equations [M].1983.</p><p&

19、gt;　　[14]谷超豪，李大潛，沈瑋熙，應用偏微分方程[M].高等教育出版社，1993.</p><p>　　[15]陸啟韶，常微分方程的定性方法和分叉[M].北京航天大學出版社，1989.</p><p>　　[16]Tater N,Messaoudi S A.Global Existence and Asymptotic Behavior for a Nonlinear Visco

20、elastic Problem[M].</p><p>　　[17]張芷芬，丁同仁，黃文灶，董鎮(zhèn)喜，微分方程定性理論[M].科學出版社，1985.</p><p>　　完 成 期 限： </p><p>　　指導教師簽名： </p><p>　　專業(yè)負責人簽名：

21、 </p><p>　　年 月 日 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　中文摘要 …………………………………………………………I</p><p>　　英文摘要…………………………………………………………II</p>

22、<p>　　1 序論……………………………………………………………1</p><p>　　1.1引言……………………………………………………1</p><p>　　1.2 粘彈性方程的發(fā)展概述…………………………… 1</p><p>　　2 假設和主要結果………………………………………………4</p><p>　　2.1假設 ……

23、……………………………………………4</p><p>　　2.2主要結果 ……………………………………………4</p><p>　　3 預備知識………………………………………………………5</p><p>　　3.1基本定義 ……………………………………………5</p><p>　　3.2一系列不等式 ………………………………………5<

24、/p><p>　　3.3引理 …………………………………………………6</p><p>　　4 主要結論的證明………………………………………………8</p><p>　　4.1解的整體存在性 ……………………………………8</p><p>　　4.2能量的一致衰減性…………………………………13</p><p>　　致謝

25、……………………………………………………………19</p><p>　　參考文獻 ………………………………………………………20</p><p>　　一類非線性粘彈性方程解的整體存在性</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　在本文中，研究一類非線性粘彈性方程解的整體存在性和以指數(shù)形式的衰減性。&l

26、t;/p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　文章共分為四小節(jié)：</b></p><p>　　第一節(jié)，簡述研究一類非線性粘彈性方程的意義和近年來國際研究的現(xiàn)狀，且基于本文的假設條件上研究這個問題。</p><p>　　第二節(jié)，說明Sobolev嵌入定理和多個與本文有關的不等式方

27、程條件。</p><p>　　第三節(jié)，運用Faedo-Galerkin方法證明方程的整體存在性。</p><p>　　第四節(jié)，我們采取下述的方法證明方程的衰減性。</p><p>　　在此中，為正常數(shù)，引入兩個泛函：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　廣義能量和泛函在特定

28、意義下是等價的，為了得到的指數(shù)衰減，只需證明滿足指數(shù)衰減.</p><p>　　關鍵詞 非線性粘彈性方程，F(xiàn)aedo-Galerkin方法，存在性，唯一性。</p><p>　　EXISTENCE OF A CLASS OF NONLINEAR WAVE EQUATIONS</p><p><b>　　Abstact</b></p>

29、;<p>　　In this paper, we study a class of nonlinear viscoelastic equations the global existence and decay.</p><p><b>　　， </b></p><p>　　The article is divided into four section

30、s：</p><p>　　In the first section，we briefly study a class of nonlinear viscoelastic equations significance and the status of international research in recent years，It based on this assumption and study this

31、issue。</p><p>　　In the second section，explain embedding theorem of SobolevAnd a plurality of documents related to inequality equation conditions.</p><p>　　In the third section，we use Faedo-Galer

32、kin to prove the global existence of the equation。</p><p>　　In the fourth section，we show that the equation of attenuation。</p><p>　　In this,is a positive constant，and there is</p><p&

33、gt;　　Keywords Nonlinear viscoelastic equations，F(xiàn)aedo-Galerkin way，Existence，Unique。</p><p><b>　　1 緒論</b></p><p><b>　　1.1 引言</b></p><p>　　作為數(shù)學的一個分支，在18世紀最早的系

34、統(tǒng)的三個基本的數(shù)學物理偏微分方程分別為：波動方程，熱傳導方程和調和方程，所運用的方法是經(jīng)典分析。進入了二十世紀以后，在現(xiàn)代科學技術和其他數(shù)學分支不斷發(fā)展的支撐下，對偏微分方程的研究已經(jīng)突破了經(jīng)典分析的局限，而在更一般的條件下討論問題成為可能且十分現(xiàn)實了。事實說明，物理學，生物學甚至金融學等眾多不同的領域中運用的基本規(guī)律，都可以通過微分方程進行研究和證明。這不但能夠了解現(xiàn)象的本質，特性特征，同時可以在此基礎上作出新的預測。將它運用到不同的

35、社會領域中，取得了巨大的科學成就和社會效益。</p><p>　　伴隨著科學技術水平的不斷發(fā)展，各式各樣的非線性問題引起人們日益深切的關注，源自于應用數(shù)學，物理學，等各種應用學科中的非線性偏微分方程初邊值問題，是目前最受關注的非線性偏微分方程。</p><p>　　固體力學有很多不同的研究分類，粘彈性理論就是其中之一。有多種類型的工程材料，如高聚合材料混凝土、某種生物組織以及在高速運動下發(fā)

36、生變形的金屬材料，不僅有彈性特質，而且還擁有粘性特征，這種兼?zhèn)鋬烧卟煌攸c的材料稱為粘彈性體。運用彈性力學的辦法來研究粘彈性體并不能確切的反映真實情況，這是因為在外力作用下，粘彈性體會隨著時間的變化而產生彈性變形，而且變形還會不斷的變化。彈性力學與粘彈性理論的主要區(qū)別在于應變－應力不同關系。所以，粘彈性理論的重點研究對象就是粘彈性體的應變－應力的關系。</p><p>　　近些年來，在理論（包括斷裂理論，本構理論

37、）和應用上，非線性粘彈性的研究都取得了重大的進展。人們借助于非線性模型來充分研究年彈性固體的行為，隨著研究廣度和研究深度的進步，不少學者推導出其運動方程是偏微分-積分方程，用經(jīng)典的Galerkin方法可把它簡化為非線性積分-微分方程。在粘彈性力學方程的理論和應用取得不斷進展的情況下，粘彈性方程初邊植問題成為近些年來在數(shù)學領域討論的熱門課題。</p><p>　　這其中一個重點的研究方向就是含有記憶項的粘彈性方程。

38、</p><p>　　1.2 粘彈性方程的發(fā)展概述</p><p>　　事實上，Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V N ,Ferrira J等人在文獻[1]已經(jīng)研究過帶強阻尼的相關方程</p><p><b>　　（1.1）</b></p><p>　　與本文研究的方程具有相同的初邊

39、值</p><p>　　他們運用Galerkin逼近方法結合能量估計建立了解的存在性、唯一性等結果，假設是一個實數(shù).</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　為證明解的整體存在性時考慮，為得到能量的衰減速率時設定.在假定松弛函數(shù)以指數(shù)形式衰減時，得到了能量的一致衰減。</p><p>　　Tater

40、 N,Messaoudi S A在文獻[2]研究過如下問題方程</p><p><b>　?。?.2）</b></p><p>　　初邊值條件與（1.1）相同。用改進的位勢井和全新泛函方法得出了整體解的存在性且能量以指數(shù)形式的一致衰減性。</p><p>　　將問題轉化到帶有非線性阻尼的情況下，韓小森和王明新在文獻[3]研究過</p>

41、;<p><b>　　(1.3)</b></p><p>　　在相同的初值條件下，設定</p><p>　　，，得到能量的一致衰減性.</p><p>　　吳舜堂等人在文獻[4]研究過方程</p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　　是在

42、初邊值與上述相同的情況下，將韓小森和王明新的論證延伸到含有的情況。</p><p>　　而當以上的問題去掉色散項后，同樣引起了廣泛關注，相關的方程獲得研究，得出一批有關解的存在性、正則性、唯一性與穩(wěn)定性等結果。</p><p>　　例如韓小森和王明新在文獻[5]還研究過如下方程</p><p><b>　　(1.5)</b></p>

43、<p>　　在相同的初值條件下，設定</p><p><b>　　,</b></p><p>　　本文分別用Galerkin方法和擾動能量方法證明此問題解的整體存在性和能量的一致衰減性.</p><p>　　劉文俊在文獻[6]研究了方程</p><p><b>　?。?.6）</b>&

44、lt;/p><p>　　其中在有界區(qū)域中，是具有光滑的邊界,,,是一個指數(shù)衰減記憶項的正函數(shù)。</p><p>　　存在正常數(shù)，在條件, ,可得出能量的指數(shù)衰減。</p><p>　　受上述文獻的啟發(fā)，本課題擬研究如下方程</p><p>　　結合Young和Gronwall等多種不等式，使用Faedo-Galerkin方法，即在適當?shù)腟ob

45、olev空間中選取適當基函數(shù)，在由任意有限個基函數(shù)所張成的有限維空間中求解逼近問題，用常微分方程組的局部存在性定理得到逼近問題解的局部存在性。然后得到近似問題解的緊性估計，即可保證近似問題解的整體存在性。再選取近似問題解的一個子序列，使其收斂于原問題的解，即驗證近似問題解子序列的極限滿足方程和初值條件。本課題與（1.6）題目的區(qū)別是將改為。其中的計算方法參考方程（1.1）-（1.5）.結合（1.6）的衰減估計得出（1.7）的衰減估計，預

46、期結果是能量以指數(shù)形式衰減.</p><p><b>　　2 假設和主要結果</b></p><p><b>　　2.1 假設</b></p><p>　　當且假設滿足，如果時，. 　　</p><p>　　對于核函數(shù)，假設它滿足：</p><p><b>　　是

47、正函數(shù)且滿足</b></p><p>　　存在正常數(shù)使得： </p><p><b>　　2.2 主要結果</b></p><p>　　在以上假設的前提下，即設，假設（X1），（X2）成立，則問題必有唯一的弱解，滿足</p><p><b>　　(2.1)</b

48、></p><p>　　并且來說，假設是有界且為正的，那么對于任意的，存在和且二者都為正常數(shù)，使得能量泛函數(shù)滿足衰減估計</p><p><b>　　(2.2)</b></p><p><b>　　3 預備知識</b></p><p><b>　　3.1 基本定義</b>

49、</p><p>　　, (3.1)</p><p>　　, (3.2)</p><p>　　當時，，為在上的本質上界，記為，定義：</p><p>　　.

50、 (3.3)</p><p>　　3.2 重要的不等式</p><p>　　Minkowski不等式：如果則；</p><p>　　Hlder不等式：設若則且有 ；</p><p>　　Young不等式1：設且滿足．若 ，則有在上幾乎處處存在，且；</p><p>　　Young不等式2：，則有；<

51、;/p><p>　　帶 的Young不等式：，則．特別地，當時，上式變?yōu)椋◣У腃auchy不等式）</p><p>　　Gronwall不等式（積分形式）</p><p>　　設是[0,T]上的非負可積函數(shù)，,</p><p><b>　　對某個成立，則；</b></p><p>　?。?）如果，，則

52、. </p><p>　　Gronwall不等式（微分形式）</p><p>　　是非負的，且為絕對連續(xù)函數(shù)，在的區(qū)間上，且對任意情況下的滿足不等式 ，</p><p>　　在此和是非負的，且為可積函數(shù)，在的區(qū)間上，則</p><p>　　特殊情況下，在的區(qū)間上符合條件</p><p&g

53、t;　　，則恒有. </p><p><b>　　3.3 引理</b></p><p>　　引理1（Sobolev嵌入定理）設為中的有界區(qū)域，其邊界是光滑的，如果，那么</p><p>　?。╥） </p>

54、<p>　　并有 ，</p><p><b>　　其中為常數(shù)．</b></p><p>　　（ii） ，</p><p>　　并有 ，</p><p>&

55、lt;b>　　其中為常數(shù)．</b></p><p>　　引理2（Aubin引理）設是三個Banach空間，其中是自反的，且有連續(xù)的嵌入關系，到的嵌入映射是緊的．記</p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　則緊嵌入.</b></p><p>　　引理3　設

56、是Hilbert空間或Banach空間，是的對偶空間，.如果</p><p><b>　　內，</b></p><p><b>　　內，</b></p><p><b>　　則在中．</b></p><p>　　引理４（Ｇreen公式）</p><p>

57、<b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　4 主要結論的證明</b></p><p>　　4.1 解的整體存在性</p><p>　　令為的一個完備正交基，且是一個特征函數(shù)，其具備負Laplace含有帶齊次Dirichlet邊界條件，即：</p><p><b>　　,,<

58、/b></p><p>　　經(jīng)過規(guī)范化后，存在，假設m是任意正整數(shù)，,</p><p>　　并且記表示對t求一階導,表示對t求二階導.</p><p>　　再由（1.1）兩邊同時乘以，知滿足：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　且存在有：，<

59、;/b></p><p><b>　　則以上化簡成：</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　其中， .</b></p><p>　　當時，在中，

60、. </p><p>　　因為假設中是一個有意義的非線性項.</p><p>　　根據(jù)標準的常微分方程理論，我們可知存在唯一的解在區(qū)間上，其中大于零.則求解方程，并由第一估計得，對，這個近似解可以延拓到上.</p><p><b>　　現(xiàn)在驗證估計一.</b></p><p>　　方程兩邊分別乘以，并且關于求和，得到

61、：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　可化為：</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　繼而得：</b></p><p><b>　　.</b&g

62、t;</p><p><b>　　通過計算得：</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　記作符號：,</b></p><p>　　則聯(lián)系上面的計算可得：</p><p><b>　　.</b>&l

63、t;/p><p>　　在（0，t)區(qū)間上積分，并且運用假設條件，該式可化為：</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　由于</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　又由,</b&

64、gt;</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此，是與及有關的正常數(shù)，并由上述式子可得第一估計：</p><p><b>　　,</b></p><p>　　在此，是與，及L有關的正常數(shù).</p><p>　　從而有下列結果： </p&g

65、t;<p><b>　　現(xiàn)在驗證估計二.</b></p><p>　　方程兩邊分別乘以，并且關于k求和，得到：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　可化為：</b></p><p><b>　　.</b><

66、;/p><p><b>　　通過計算可得：</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b>

67、</p><p><b>　　計算得：</b></p><p>　　在（0，t)區(qū)間上積分，并且運用假設條件，該式可化為：</p><p><b>　　,</b></p><p>　　因此，是及有關聯(lián)的正常數(shù)，并由上述式子可得第一估計：</p><p><b>　　

68、,</b></p><p>　　在此，是與，及有關聯(lián)的正常數(shù).</p><p><b>　　.</b></p><p>　　綜上所述，根據(jù)以上方程解得，存在子列，使得：</p><p><b>　　下面處理非線性項.</b></p><p><b>　　

69、意味著．</b></p><p>　　而（3) 進一步而有：．</p><p>　　利用Aubin引理得：</p><p><b>　　相當于</b></p><p><b>　　，這意味著</b></p><p><b>　　下面驗證初值

70、，已知</b></p><p><b>　　在中，，中，</b></p><p><b>　　且在中，</b></p><p>　　其中表示與的對偶積．注意到，上式可寫為</p><p>　　因此可知又，故對任意有．

71、 </p><p><b>　　因此在中，．</b></p><p>　　4.2 能量的一致衰減性</p><p>　　在本文中，我們將證明此方程的解以指數(shù)形式衰減的定理.</p><p><b>　　設是方程的解，</b></p><p>　　由此可定義

72、廣義能量方程滿足，</p><p><b>　　其中為：</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　其中.</b></p><p><b>　　并由此可知，</b></p><p><b>

73、;　　.</b></p><p><b>　　引入兩個泛函數(shù)，</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　并且設：</b></p><p><

74、;b>　　.</b></p><p>　　其中和是未知的正整數(shù).</p><p>　　本文先證明下述引理，由此說明泛函數(shù)和廣義能量在下述問題的意義中是等價的.</p><p>　　引理：設是上述方程得到的解，則存在兩個正的常數(shù)項，使得其滿足下述不等式： .</p><p><b>　　證 由的定義</b>

75、;</p><p>　　運用Young不等式，得到：</p><p><b>　　由的定義，</b></p><p>　　運用Young不等式，易得：</p><p>　　運用上述的公式，將選取適當大的數(shù)，將選取適當小的數(shù)，則一定會存在符合方程兩邊要求的和.</p><p>　　我們?yōu)榱俗C明的衰減

76、性，只需要將證明出其滿足指數(shù)衰減。</p><p>　　因此，我們先計算的導數(shù).</p><p><b>　　.</b></p><p>　　上式右端的第三項可計算得：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　我們可以根據(jù)Young不等式，得到：</

77、p><p><b>　　.</b></p><p>　　繼續(xù)根據(jù)Young不等式，可得式子最后一項：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　綜上所述，</b></p><p><b>　　.</b><

78、/p><p><b>　　將，可得：</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　下面我們來根據(jù)的定義，直接估計可得：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　當時，首先估計式子右端第一項：</p>

79、<p><b>　　.</b></p><p><b>　　估計第二項：</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　估計第三項：</b></p><p><b>　　.</b></p&

80、gt;<p><b>　　估計第四項：</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　其中，</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　綜上所述，</b>&

81、lt;/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　估計第五項：</b></p><p>　　通過Sovolev嵌入定理,且，可以得出：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　繼而得：</b&

82、gt;</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　估計第六項：</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　綜上所述，</b></p><p><b>　　且使得：

83、</b></p><p>　　整理以上，我們可得：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　在此，我們讓,，則存在足夠小的，使得：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　同理：</b><

84、/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　而對于任意存在的和，我們可以找出足夠大的，使其滿足.</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此，在假設的條件下，對于些，</p&g

85、t;<p><b>　　可得：</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由上述可知，存在正常數(shù)，可得， ，</p><p>　　利用定理可推知， .</p><p>　　最后將上述不等式積分，</p><p><b>　　得

86、到：</b></p><p><b>　　，.</b></p><p>　　因此也就證明了衰減性。</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　首先我把這篇論文獻給我親愛的的父母親，感謝他們給了我生命，給了我一個完整的家庭，給了我深造的機會，他們教會我踏實做人本分做

87、事一步一個腳印，也感謝他們給予我無保留的的愛和奉獻的精神，事實證明，這足以受用終生。我要感謝我大學四年來的所有的老師，他們的兢兢業(yè)業(yè)的教誨共同鑄就了這篇論文，沒有他們孜孜矻矻的教化，難以想象這一切是如何開始又如何結尾的，尤其感謝我們的 老師，在我寫論文之伊始，李老師就傾注了大量心血，指點我如何選材，如何查詢必要的資料，如何深入淺出地分析案例，李老師嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度、誨人不倦的精神、淵博的知識對我產生了無法估量的影響，在這里我要祝

88、福李老師，身體健康，萬事通達。本文是對我大學四年的學習成果的總結，大家的閱讀是我至上的榮耀，如果大家能提出一些意見和建議，我更是求之不得，感激不盡。時光飛逝，在這四年里我經(jīng)歷了許許多多難以忘懷的時刻，在這生命最美麗的四年里和將近四年的學習生活中，我要感謝我的一些同學和朋友們，你們的支持是我前進的動力，你們的幫助更是對我的激勵，感謝在最美麗的年華遇到所有的你們。 最后，感謝自己，曾經(jīng)的努力，造就一個更加自信，更加完美的自己，告訴自己，路&

89、lt;/p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V N ,Ferrira J. Existence and uniform decay for a nonlinear viscoalastic equation with strong damping [M].2001 .&l

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