1、第五講,隨機變量函數(shù)的分布,一、問題的提出,在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣.,求截面面積 A= 的分布.,例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，,一、問題的提出,在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣.,已知t=t0 時刻噪聲電壓 V的分布，,求功率 W=V2/R (R為電阻）的分布等.,設(shè)隨機變量X 的分布已知，Y=g (X) (設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,下面進行討

2、論.,這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的.,二、離散型隨機變量函數(shù)的分布,解： 當 X 取值 1，2，5 時， Y 取對應(yīng)值 5，7，13，,而且X取某值與Y取其對應(yīng)值是兩個同時發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率.,故,如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當并項即可.,一般，若X是離散型 r.v ，X的概率函數(shù)為,則 Y=X2 的概率函數(shù)為：,三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布,解：設(shè)Y的分布函數(shù)為 FY

3、(y)，,FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y ),=P{ X } = FX( ),于是Y 的密度函數(shù),,,本例用到變限的定積分的求導公式,故,注意到 0 < x < 4 時，,即 8 < y < 16時，,此時,Y=2X+8,求導可得,當 y>0 時,,注意到 Y=X2 0，故當 y 0時，,解： 設(shè)Y和X的分布

4、函數(shù)分別為 和 ，,若,則 Y=X2 的概率密度為：,從上述兩例中可以看到，在求P(Y≤y) 的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從{ g(X) ≤ y }中解出X,從而得到與 {g(X) ≤ y }等價的X的不等式 .,用 代替{ X2 ≤ y },這樣做是為了利用已知的 X的分布，從而求出相應(yīng)的概率.,這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法.,,,練習：

5、 設(shè)隨機變量X的概率密度為,求Y=sinX的概率密度.,練習： 設(shè)隨機變量X的概率密度為,求Y=sinX的概率密度.,當 y 0時,,當 y 1時,,故,解：注意到,,=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）,解：當0<y<1時,,練習 設(shè)隨機變量X的概率密度為,求Y=sinX的概率密度.,當0<y<1時,,解：,=P(0 X arcsi

6、ny)+P( - arcsiny X ）,而,求導得:,例4 已知隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù), 證明Y=F(X)服從[0,1]上的均勻分布.,又由于X的分布函數(shù)F是嚴格遞增的連續(xù)函數(shù), 其反函數(shù) F-1 存在且嚴格遞增.,證明: 設(shè)Y的分布函數(shù)是G(y),,于是,對y>1, G(y)=1;,對y<0 , G(y)=0;,由于,對0≤y≤1,,G(y)=P(Y≤ y),=

7、P(F(X)≤ y),=P(X ≤ (y)),=F( (y))= y,即Y的分布函數(shù)是,求導得Y的密度函數(shù),可見, Y 服從[0，1]上的均勻分布.,本例的結(jié)論在計算機模擬中有重要的應(yīng)用.,,下面給出一個定理，在滿足定理條件時可直接用它求出隨機變量函數(shù)的概率密度 .,其中，,此定理的證明與前面的解題思路類似.,x=h(y)是y=g(x)的反函數(shù),定理 設(shè) X是一個取值于區(qū)間[a,b]，具有概率密度 f(x)的連續(xù)型

8、r.v,又設(shè)y=g(x)處處可導，且對于任意x, 恒有 或恒有 ，則Y=g(X)是一個連續(xù)型r.v，它的概率密度為,,下面我們用這個定理來解一個例題 .,,,例 5,,,對于連續(xù)型隨機變量，在求Y=g(X) 的分布時，關(guān)鍵的一步是把事件 { g(X)≤ y } 轉(zhuǎn)化為X在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而可以利用 X 的分布來求 P { g(X)≤ y }.重點：掌握一般情形下求隨

9、機變量函數(shù)分布的方法：先求分布函數(shù)，再求導，求隨機變量函數(shù)的概率密度。,這一講我們介紹了隨機變量函數(shù)的分布.,,,,本章要求：,1 會用隨機變量表示隨機事件。2 理解分布函數(shù)的定義及性質(zhì)，要會利用分布函數(shù)表示事件的概率。3 理解離散型隨機變量及其分布率的定義、性 質(zhì)，會求離散型隨機變量的分布率及分布函數(shù)，掌握常用的離散型隨機變量分布：兩點分布、二項分布、泊松分布。,,4 理解連續(xù)型隨機變量及概率密度的定義、性質(zhì)，要掌握概率密度與分布

10、函數(shù)之間關(guān)系及其 運算，掌握常用的連續(xù)型隨機變量分布：均勻 分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布。 5 會求隨機變量的簡單函數(shù)的分布。,練習,,測量某目標的距離時，誤差X（m），且知X?N(20,1600),求三次測量中至少有一次誤差絕對值不超過30m的概率.設(shè)隨機變量X在(0,1)上服從均勻分布，求 Y=-2lnX的概率密度.,,,例7證: X 的概率密度為由定理的結(jié)論得：,,,例6 設(shè)隨機變量X在(0,1)上服從