1、本文主要研究了一類(lèi)帶色散項(xiàng)非線性淺水波方程的極限行為和Cauchy問(wèn)題的適定性理論。DGH方程(Dullin-Gottwald-Holm方程，簡(jiǎn)稱(chēng)為DGH方程)是Dullin，Gottwald，Holm從Euler方程出發(fā)，利用漸近擴(kuò)張思想研究無(wú)旋不可壓縮無(wú)粘淺層受地球重力和流體自身表面張力影響的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得到的一類(lèi)l+1維新型單向淺水波方程。D-P方程(Degasperis-Procesi方程，簡(jiǎn)稱(chēng)D-P方程)是Degasperis和

2、Procesi得到的，他們發(fā)現(xiàn)只有三類(lèi)方程滿(mǎn)足這一族的漸近積分情況：KdV方程，Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程，因而它們具有相似的性質(zhì)。 第二章主要研究帶色散項(xiàng)DGH方程初值問(wèn)題的局部適定性，blow-up問(wèn)題，運(yùn)用Kato定理，得到了初值問(wèn)題的局部適定性理論；在對(duì)初值問(wèn)題的奇異性的討論中獲得了blow-up存在的一個(gè)充分性條件。第三章主要研究了一類(lèi)非線性色散淺水波方程(DGH方程、帶色散

3、項(xiàng)D-P方程)的可積性問(wèn)題，應(yīng)用對(duì)稱(chēng)法結(jié)合數(shù)論方法，通過(guò)研究相應(yīng)的非齊次微分多項(xiàng)式的可積性，應(yīng)用可積性測(cè)試得到方程的可積性。第四章主要研究帶色散項(xiàng)DGH方程的初值問(wèn)題的解與相應(yīng)的Camassa-Holm方程的解之間的關(guān)系，通過(guò)對(duì)線性化帶色散項(xiàng)DGH方程的基本解的討論，證明了當(dāng)色散系數(shù)γ趨于零時(shí)，帶色散項(xiàng)DGH方程的解趨近于Camassa-Holm方程的解。第五章主要研究帶色散項(xiàng)D-P方程初值問(wèn)題的局部適定性、整體適定性，運(yùn)用Kato定理