1、該文提出了一套全新的曲線曲面理論體系,稱為廣義有理參數(shù)曲線曲面(Generalized Rational Parametric Curve and Surface).廣義有理參數(shù)曲線曲面定義在與控制網(wǎng)格拓撲同胚的微分流形上,以高度一般的勢函數(shù)為基函數(shù),其控制網(wǎng)格可以是任意的一維拓撲流形和二維可定向拓撲流形.廣義有理參數(shù)曲線曲面是NURBS表示形式的一種推廣,很好地克服了NURBS的各種缺點.其基本思想是首先建立物體的拓撲信息,然后加載幾

2、何信息來構造曲面,整個構造過程類似于將與控制網(wǎng)格拓撲同胚的微分流形經(jīng)控制頂點拉伸后進行彈性形變.該文首先討論了廣義有理參數(shù)曲線曲面的理論基礎,依次闡述了黎曼幾何中關于流形、函數(shù)和映射的基本概念,并在此基礎上提出了微分流形上勢函數(shù)的定義.然后通過勢函數(shù)來構造微分流形上的單位分解,將曲線曲面看作微分流形到拓撲流形的映射,給出了廣義有理參數(shù)曲線曲面的整體理論框架,并對廣義有理參數(shù)曲線曲面的基本性質進行了討論.廣義有理參數(shù)曲線曲面在表示形式和計

3、算方法上具有高度的統(tǒng)一性,它不僅繼承了NURBS的很多優(yōu)良性質,比如局部控制性、凸包性、仿射和投影不變性等,而且可以直接表示裁剪曲面和閉合的曲線曲面.然后,該文分別對廣義有理參數(shù)曲線和廣義有理參數(shù)曲面進行了深入的研究.對于廣義有理參數(shù)曲線,我們在第三章中對它的基函數(shù)設計、參數(shù)化方法、局部控制和局部特征設計等各個構造和設計環(huán)節(jié)進行了詳細的討論,并提出了新的二次曲線的精確構造方法.最后應用廣義有理參數(shù)曲線對散亂數(shù)據(jù)進行插值擬合,它可以通過調

4、整基函數(shù)的支撐域來優(yōu)化方程的系數(shù)矩陣,因此提供了更高的數(shù)值穩(wěn)定性.對于廣義有理參數(shù)曲面,根據(jù)控制網(wǎng)格的拓撲結構,我們分成兩種情況來考慮.對于具有簡單拓撲結構,存在著一致的全局參數(shù)化的控制網(wǎng)格,我們將把控制網(wǎng)格直接映射到微分流形上,因此可以很容易地對曲面進行構造和控制.我們在第四章詳細討論了這種廣義有理參數(shù)曲面的性質及其構造方法.然后,在第五章中,我們將控制網(wǎng)格進一步推廣到任意可定向二維拓撲流形,提出了一個通用的方法將控制網(wǎng)格映射到與之拓