1、有限體積元方法作為數(shù)值求解微分方程的一類重要方法，它綜合了有限差分法和有限元法的優(yōu)點，兼有有限差分法的簡單性和有限元法的精確性，已被廣泛應用于計算流體力學等重要領域.本文我們分別針對一維橢圓和拋物型問題，提出三次超收斂有限體積元方法，全篇共分兩章。 第一章研究了基于等距節(jié)點下三次Lagrange插值的超收斂有限體積元方法.§1.1是引言，介紹了有限體積元方法和三次Lagrange插值導數(shù)超收斂點，即在標準單元[-1,1]上，若應

2、用四個等距節(jié)點(-1，u(-1))，(-1/3，u(-1/3))，(1/3，u(1/3))，(1，u(1))作三次Lagrange插值，其導數(shù)通常情況下具有三階精度，但在{±、√5信/3,0}處導數(shù)達到四階精度，這些點即為等距節(jié)點下三次Lagrange插值導數(shù)超收斂點.§1.2針對一維橢圓問題提出了基于三次Lagrange插值的超收斂有限體積元方法.在每個單元[x3i-3,x3i]上，取(X3i-3，u3i-3)，(x3i-2,u3i-

3、2)，(x3i-1，u3i-1)，(X3i，u3i)四個等距節(jié)點下的三次Lagrange插值函數(shù)作為試探函數(shù)，分片常數(shù)空間為檢驗函數(shù)空間，以三次Lagrange插值導數(shù)超收斂點為對偶剖分節(jié)點，推導計算格式，并給出H1模、L2模誤差估計，證得格式在這兩種范數(shù)下分別具有三階和四階精度，同時給出導數(shù)超收斂估計.數(shù)值算例驗證了理論分析結果并將該方法應用到求解奇異源項問題.§1.3將上節(jié)離散思想推廣到一維拋物型問題，導出了計算格式并給出L2模收斂

4、性分析，數(shù)值算例驗證了方法的有效性。 第二章研究了基于三次樣條插值的超收斂有限體積元方法.§2.1引言部分介紹了三次樣條在數(shù)值求解微分方程方面的已有成果和三次樣條準備知識及其導數(shù)超收斂點，即在單元[xi-1,xi]上，單元中點為其導數(shù)超收斂點.§2.2分別針對各種不同邊界條件下的兩點邊值問題提出了基于三次樣條插值的超收斂有限體積元方法，并給出離散H1模和L2模誤差估計，并推廣到非線性和奇異源項問題.§2.3針對一維拋物型問題，給