1、有限體積元方法作為數(shù)值求解微分方程的一類(lèi)重要方法，它綜合了有限差分法和有限元法的優(yōu)點(diǎn)，兼有有限差分法的簡(jiǎn)單性和有限元法的精確性，已被廣泛應(yīng)用于計(jì)算流體力學(xué)等重要領(lǐng)域.本文我們分別針對(duì)一維橢圓和拋物型問(wèn)題，提出三次超收斂有限體積元方法，全篇共分兩章。 第一章研究了基于等距節(jié)點(diǎn)下三次Lagrange插值的超收斂有限體積元方法.§1.1是引言，介紹了有限體積元方法和三次Lagrange插值導(dǎo)數(shù)超收斂點(diǎn)，即在標(biāo)準(zhǔn)單元[-1,1]上，若應(yīng)

2、用四個(gè)等距節(jié)點(diǎn)(-1，u(-1))，(-1/3，u(-1/3))，(1/3，u(1/3))，(1，u(1))作三次Lagrange插值，其導(dǎo)數(shù)通常情況下具有三階精度，但在{±、√5信/3,0}處導(dǎo)數(shù)達(dá)到四階精度，這些點(diǎn)即為等距節(jié)點(diǎn)下三次Lagrange插值導(dǎo)數(shù)超收斂點(diǎn).§1.2針對(duì)一維橢圓問(wèn)題提出了基于三次Lagrange插值的超收斂有限體積元方法.在每個(gè)單元[x3i-3,x3i]上，取(X3i-3，u3i-3)，(x3i-2,u3i-

3、2)，(x3i-1，u3i-1)，(X3i，u3i)四個(gè)等距節(jié)點(diǎn)下的三次Lagrange插值函數(shù)作為試探函數(shù)，分片常數(shù)空間為檢驗(yàn)函數(shù)空間，以三次Lagrange插值導(dǎo)數(shù)超收斂點(diǎn)為對(duì)偶剖分節(jié)點(diǎn)，推導(dǎo)計(jì)算格式，并給出H1模、L2模誤差估計(jì)，證得格式在這兩種范數(shù)下分別具有三階和四階精度，同時(shí)給出導(dǎo)數(shù)超收斂估計(jì).數(shù)值算例驗(yàn)證了理論分析結(jié)果并將該方法應(yīng)用到求解奇異源項(xiàng)問(wèn)題.§1.3將上節(jié)離散思想推廣到一維拋物型問(wèn)題，導(dǎo)出了計(jì)算格式并給出L2模收斂

4、性分析，數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的有效性。 第二章研究了基于三次樣條插值的超收斂有限體積元方法.§2.1引言部分介紹了三次樣條在數(shù)值求解微分方程方面的已有成果和三次樣條準(zhǔn)備知識(shí)及其導(dǎo)數(shù)超收斂點(diǎn)，即在單元[xi-1,xi]上，單元中點(diǎn)為其導(dǎo)數(shù)超收斂點(diǎn).§2.2分別針對(duì)各種不同邊界條件下的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題提出了基于三次樣條插值的超收斂有限體積元方法，并給出離散H1模和L2模誤差估計(jì)，并推廣到非線(xiàn)性和奇異源項(xiàng)問(wèn)題.§2.3針對(duì)一維拋物型問(wèn)題，給